نمذجة المجسمات

التصور

في هذا الإطار، تصوير أنسجة معينة من الجسم (الأوعية الدموية والورم فقط، مثلًا)

إضافةً إلى ذلك، التحليل الحسابي للعمليات البيولوجية المعقدة، مثلًا تدفق الهواء وتدفق الدم

من جهة ثانية، المحاكاة الحاسوبية للأجهزة الطبية الجديدة والغرسات داخل الجسم الحي

من جانب آخر، إنشاء نماذج شبكية متعددة الأضلاع للنماذج الأولية السريعة (لمساعدة الجراحين في التحضير لعمليات جراحية صعبة، مثلًا)

إضافةً إلى ذلك، تصميم الأطراف الصناعية، وأجهزة تقويم العظام، وغيرها من الأجهزة الطبية وأجهزة طب الأسنان (يُطلق على هذا أحيانًا اسم التخصيص الشامل).

كذلك، إذا تجاوز الاستخدام مجرد تصور بيانات المسح الضوئي، فستكون هناك حاجة إلى عمليات مثل تجزئة الصور والتشكيل الشبكي القائم على الصور لإنشاء وصف هندسي دقيق وواقعي لبيانات المسح الضوئي.

في هذا الإطار، دمج نماذج الشبكة المضلعة مع النمذجة الصلبة باستخدام برامج التصميم بمساعدة الحاسوب (تصميم أجزاء استبدال مفصل الورك، مثلًا)

إنشاء مثيلات بدائية

وفي هذا الصدد، تعتمد هذه الآلية على مفهوم عائلات الكائنات، حيث يتميز كل عنصر في العائلة عن الآخر ببعض المعايير. تُسمى كل عائلة كائنات "عنصرًا أوليًا عامًا"، وتُسمى الكائنات الفردية داخل العائلة "حالات أولية". مثلًا، تُعد عائلة البراغي عنصرًا أوليًا عامًا، بينما يُعد برغي واحد مُحدد بمجموعة معينة من المعايير حالة أولية. السمة المميزة لآليات النسخ المعيارية البحتة هي عدم وجود وسائل لدمج الحالات لإنشاء هياكل جديدة تُمثل كائنات جديدة وأكثر تعقيدًا. أما العيب الرئيسي الآخر لهذه الآلية فهو صعوبة كتابة خوارزميات لحساب خصائص الأجسام الصلبة المُمثلة. إذ يجب تضمين قدر كبير من المعلومات الخاصة بكل عائلة في الخوارزميات، وبالتالي يجب التعامل مع كل عنصر أولي عام كحالة خاصة، مما لا يسمح بمعالجة شاملة موحدة.

النمذجة الصلبة الطبية

استخدامات النمذجة الطبية الصلبة

في هذا الإطار، يمكن استخدام أجهزة التصوير المقطعي المحوسب الحديثة وأجهزة التصوير بالرنين المغناطيسي لإنشاء نماذج ثلاثية الأبعاد للخصائص الداخلية للجسم، تُعرف بالنماذج القائمة على وحدات فوكسل، مع توليد الصور باستخدام تقنية عرض الحجم. كما يمكن استخدام الماسحات الضوئية ثلاثية الأبعاد لإنشاء سحب نقاط أو نماذج شبكية متعددة الأضلاع للخصائص الخارجية للجسم.

النمذجة البارامترية والقائمة على الميزات

ومن ناحية أخرى، تُعرَّف الميزات بأنها أشكال بارامترية مرتبطة بخصائص مثل المعايير الهندسية الجوهرية (الطول، العرض، العمق، إلخ)، والموقع والاتجاه، والتفاوتات الهندسية، وخصائص المواد، والمراجع إلى ميزات أخرى. كما تُتيح الميزات الوصول إلى عمليات الإنتاج ونماذج الموارد ذات الصلة. وبالتالي، تتمتع الميزات بمستوى دلالي أعلى من المجموعات المنتظمة المغلقة الأولية. ومن المتوقع عمومًا أن تُشكِّل الميزات أساسًا لربط التصميم بمساعدة الحاسوب (CAD) بتطبيقات التصنيع اللاحقة، وكذلك لتنظيم قواعد البيانات لإعادة استخدام بيانات التصميم. غالبًا ما يُدمج نمذجة الميزات البارامترية مع الهندسة الصلبة الثنائية البنائية (CSG) لوصف أنظمة الأجسام المعقدة في الهندسة وصفًا كاملًا.

تاريخ مصممي النماذج ثلاثية الأبعاد

ومن ناحية أخرى، يجب النظر إلى التطور التاريخي لبرامج تصميم النماذج ثلاثية الأبعاد في سياق تاريخ التصميم بمساعدة الحاسوب (CAD) ككل، حيث تمثلت المحطات الرئيسية في تطوير نظام البحث BUILD، ثم شركته التجارية المنبثقة Romulus التي أثرت بدورها على تطوير برامج Parasolid وACIS وSolid Modeling Solutions. بدأت شركة ASCON، إحدى أوائل شركات تطوير برامج CAD في رابطة الدول المستقلة، بتطوير برنامجها الخاص لتصميم النماذج ثلاثية الأبعاد داخليًا في تسعينيات القرن الماضي. في نوفمبر 2012، أصبح القسم الرياضي في ASCON شركة مستقلة، وأُطلق عليه اسم C3D Labs. وتم تكليفه بتطوير نواة النمذجة الهندسية C3D كمنتج مستقل - وهي نواة النمذجة ثلاثية الأبعاد التجارية الوحيدة من روسيا. كما ساهم مانتيلا، من خلال برنامجه GWB، ومشروع GPM الذي قدم، من بين أمور أخرى، تقنيات النمذجة الهجينة في بداية ثمانينيات القرن الماضي. وهذا كذلك هو الوقت الذي تم فيه ابتكار لغة البرمجة الخاصة بالنمذجة الصلبة PLaSM في جامعة روما.

النمذجة البارامترية

إضافةً إلى ذلك، ترتبط القيود بالمعايير، ولكنها تختلف عنها قليلاً. القيود هي علاقات بين العناصر التي تُشكّل شكلاً معيناً. بالنسبة للنافذة، قد تُعرّف الجوانب بأنها متوازية ومتساوية الطول. يُعدّ النمذجة البارامترية بديهية وواضحة. ولكن خلال العقود الثلاثة الأولى من برامج التصميم بمساعدة الحاسوب (CAD)، لم يكن الأمر كذلك. كان التعديل يعني إعادة الرسم، أو إضافة قطع أو نتوء جديد فوق القطع أو النتوءات القديمة. كانت الأبعاد في الرسومات الهندسية تُنشأ تلقائياً بدلاً من عرضها. النمذجة البارامترية قوية للغاية، ولكنها تتطلب مهارة أكبر في إنشاء النماذج. قد يحتوي نموذج معقد لجزء مصبوب بالحقن على آلاف الميزات، وقد يؤدي تعديل ميزة مبكرة إلى فشل الميزات اللاحقة. النماذج البارامترية المصممة بمهارة أسهل في الصيانة والتعديل. كما تُسهّل النمذجة البارامترية إعادة استخدام البيانات. مثلًا، يمكن احتواء مجموعة كاملة من براغي التثبيت في نموذج واحد.

وفي السياق ذاته، مثال: يتم إنشاء عمود عن طريق بثق دائرة قطرها ١٠٠ مم. يتم تركيب محور في نهاية العمود. لاحقًا، يتم تعديل طول العمود ليصبح ٢٠٠ مم (انقر على العمود، وحدد بُعد الطول، ثم عدّله إلى ٢٠٠). عند تحديث النموذج، سيصبح طول العمود ٢٠٠ مم، وسينتقل المحور إلى نهاية العمود التي كان مُركّبًا عليها، وستعكس الرسومات الهندسية وخصائص الكتلة جميع التغييرات تلقائيًا.

وفي هذا الصدد، يستعمل النمذجة البارامترية معايير لتحديد النموذج (الأبعاد، مثلًا). ومن أمثلة هذه المعايير: الأبعاد المستعملة لإنشاء خصائص النموذج، وكثافة المواد، والصيغ المستعملة لوصف الخصائص الممسوحة، والبيانات المستوردة (التي تصف سطحًا مرجعيًا، مثلًا). يمكن تعديل المعيار لاحقًا، وسيتم تحديث النموذج ليعكس هذا التعديل. عادةً ما توجد علاقة بين الأجزاء والتجميعات والرسومات. يتكون الجزء من خصائص متعددة، ويتكون التجميع من أجزاء متعددة. ويمكن إنشاء الرسومات من الأجزاء أو التجميعات.

مخططات التمثيل الصلبة

وفي السياق ذاته، فيما يلي قائمة بالتقنيات المستعملة لإنشاء أو تمثيل النماذج الصلبة. قد تستعمل برامج النمذجة الحديثة مزيجًا من هذه المخططات لتمثيل جسم صلب.

في هذا الإطار، استنادًا إلى خصائص رياضية مفترضة، يُعد أي مخطط لتمثيل المجسمات طريقةً لاستخلاص معلومات حول فئة المجموعات الفرعية شبه التحليلية للفضاء الإقليدي. وهذا يعني أن جميع التمثيلات هي طرق مختلفة لتنظيم البيانات الهندسية والطوبولوجية نفسها في شكل بنية بيانات. تُنظَّم جميع مخططات التمثيل من حيث عدد محدود من العمليات على مجموعة من العناصر الأولية. لذلك، فإن فضاء نمذجة أي تمثيل محدد محدود، وقد لا يكفي أي مخطط تمثيل واحد لتمثيل جميع أنواع المجسمات. مثلًا، لا يمكن بالضرورة تمثيل المجسمات المُعرَّفة عبر تركيبات من عمليات منطقية منتظمة على أنها مسار لعنصر أولي يتحرك بحسب مسار فضائي، إلا في حالات بسيطة للغاية. هذا يُجبر أنظمة النمذجة الهندسية الحديثة على الحفاظ على عدة مخططات تمثيل للمجسمات، كما يُسهِّل التحويل الفعال بين مخططات التمثيل.

تحلل الخلايا

ومن جهة أخرى، يستند هذا المخطط إلى الأوصاف التوافقية (الطوبولوجية الجبرية) للأجسام الصلبة الموضحة أعلاه. يمكن تمثيل الجسم الصلب بتقسيمه إلى عدة خلايا. تُعدّ مخططات تعداد شغل الفراغ حالة خاصة من تقسيم الخلايا، حيث تكون جميع الخلايا مكعبة الشكل وتقع ضمن شبكة منتظمة. يوفر تقسيم الخلايا طرقًا ملائمة لحساب بعض الخصائص الطوبولوجية للأجسام الصلبة، مثل ترابطها (عدد أجزائها) وجنسها (عدد ثقوبها). تُستعمل تقسيمات الخلايا على شكل مثلثات في تمثيلات العناصر المحدودة ثلاثية الأبعاد للحل العددي للمعادلات التفاضلية الجزئية. يمكن استخدام تقسيمات خلايا أخرى، مثل تقسيم ويتني المنتظم أو تقسيم مورس، في تطبيقات تخطيط حركة الروبوت.

اكتساح

وفي هذا السياق، الفكرة الأساسية التي تقوم عليها مخططات المسح بسيطة. يمكن لمجموعة متحركة في الفضاء أن ترسم أو تمسح حجمًا (جسمًا صلبًا) يمكن تمثيله بالمجموعة المتحركة ومسارها. يُعد هذا التمثيل مهمًا في سياق تطبيقات مثل اكتشاف المادة المُزالة من أداة القطع أثناء تحركها على طول مسار محدد، وحساب التداخل الديناميكي لجسمين صلبين يتحركان حركة نسبية، وتخطيط الحركة، وحتى في تطبيقات رسومات الحاسوب مثل تتبع حركات فرشاة على لوحة قماشية. توفر أغلب أنظمة التصميم بمساعدة الحاسوب التجارية وظائف (محدودة) لإنشاء الأجسام الصلبة الممسوحة، غالبًا على شكل مقطع عرضي ثنائي الأبعاد يتحرك على مسار فضائي متعامد مع المقطع. ومع ذلك، فقد أظهرت الأبحاث الحالية الكثير من التقريبات للأشكال ثلاثية الأبعاد التي تتحرك عبر مُعامل واحد، وحتى حركات متعددة المُعاملات.

التصميم بمساعدة الحاسوب

وفي هذا السياق، يُعدّ نمذجة الأجسام الصلبة الحد الأدنى من متطلبات إمكانيات نظام التصميم بمساعدة الحاسوب (CAD). وقد أصبحت برامج نمذجة الأجسام الصلبة شائعة في أقسام الهندسة خلال العقد الماضي بفضل سرعة الحواسيب وانخفاض أسعار البرامج. تُنشئ برامج نمذجة الأجسام الصلبة تمثيلاً ثلاثي الأبعاد افتراضياً للمكونات لتصميم الآلات وتحليلها. تتضمن واجهة المستعمل الرسومية النموذجية وحدات ماكرو قابلة للبرمجة، واختصارات لوحة المفاتيح، وإمكانية التلاعب الديناميكي بالنموذج. وتُركز هذه البرامج على القدرة على إعادة توجيه النموذج ديناميكياً، في الوقت الفعلي ثلاثي الأبعاد، مما يُساعد المصمم على الحفاظ على صورة ذهنية ثلاثية الأبعاد.

إضافةً إلى ذلك، يمكن إنشاء الرسومات الهندسية بشكل شبه تلقائي والرجوع إلى النماذج الصلبة.

ومن جهة أخرى، يتكون نموذج الجزء الصلب عادةً من مجموعة من العناصر، تُضاف واحدة تلو الأخرى حتى يكتمل النموذج. تُبنى النماذج الهندسية الصلبة في الغالب باستخدام عناصر تعتمد على الرسم التخطيطي؛ وهي عبارة عن رسومات ثنائية الأبعاد تُمرر على مسار محدد لتصبح ثلاثية الأبعاد. قد تكون هذه العناصر عبارة عن قطع أو بثق، مثلًا. عادةً ما يتم تصميم المكونات ضمن سياق المنتج ككل باستخدام أساليب نمذجة التجميع. يتضمن نموذج التجميع مراجع لنماذج الأجزاء الفردية التي يتكون منها المنتج.

وفي هذا الصدد، يُعدّ "التشكيل السطحي" (نمذجة الأسطح الحرة) نوعًا آخر من تقنيات النمذجة. في هذه التقنية، تُعرَّف الأسطح وتُقَصّ وتُدمج وتُملأ لتكوين مجسمات صلبة. تُعرَّف الأسطح عادةً باستخدام منحنيات مرجعية في الفضاء ومجموعة متنوعة من الأوامر المعقدة. يُعدّ التشكيل السطحي أكثر صعوبة، ولكنه أنسب لبعض تقنيات التصنيع، مثل قولبة الحقن. عادةً ما تحتوي النماذج الصلبة للأجزاء المقولبة بالحقن على ميزات تعتمد على التشكيل السطحي والرسم التخطيطي.

فإن الشروط

من جانب آخر، تمثل، على التوالي، مستوىً ونصفَي فضاء خطيين مفتوحين. يمكن تعريف الدوال الأولية الأكثر تعقيدًا من خلال تركيبات منطقية من دوال أبسط. علاوة على ذلك، تسمح نظرية الدوال R بتحويل هذه التمثيلات إلى متباينة دالة واحدة لأي مجموعة شبه تحليلية مغلقة. ويمكن تحويل هذا التمثيل إلى تمثيل حدودي باستخدام خوارزميات المضلعات، مثل خوارزمية المكعبات المتحركة.

التمثيل الضمني

وفي السياق ذاته، إحدى الطرق العامة لتعريف مجموعة من النقاط X هي تحديد دالة منطقية يمكن تقييمها عند أي نقطة في الفضاء. بعبارة أخرى، تُعرَّف X ضمنيًا على أنها تتكون من جميع النقاط التي تحقق الشرط المحدد في الدالة المنطقية. أبسط شكل للدالة المنطقية هو الشرط على إشارة دالة حقيقية القيمة، مما ينتج عنه التمثيل المألوف للمجموعات باستخدام المعادلات والمتباينات. مثلًا، إذا كان

الأسس الرياضية

ومن جهة أخرى، يتضمن التوصيف التوافقي لمجموعة X ⊂ 𝑅 3 كجسم صلب تمثيل X كمركب خلوي قابل للتوجيه، بحيث توفر الخلايا عناوين مكانية محدودة لنقاط في متصل لا حصر له. تُعتبر فئة المجموعات الجزئية شبه التحليلية المحدودة في الفضاء الإقليدي مغلقة تحت العمليات المنطقية (القياسية والمنتظمة)، وتتميز بخاصية إضافية تتمثل في إمكانية تقسيم كل مجموعة شبه تحليلية إلى مجموعة من الخلايا المنفصلة ذات الأبعاد 0، 1، 2، 3. يُعد تثليث مجموعة شبه تحليلية إلى مجموعة من النقاط، والقطع المستقيمة، والوجوه المثلثية، والعناصر رباعية الأوجه مثالًا على التقسيم الطبقي الشائع الاستخدام. ويمكن تلخيص النموذج التوافقي للصلابة بالقول إنه فضلًا عن كونها مجموعات جزئية شبه تحليلية محدودة، فإن الأجسام الصلبة هي متعددات وجوه طوبولوجية ثلاثية الأبعاد، وتحديدًا متعددات شعب ثلاثية الأبعاد قابلة للتوجيه ذات حدود. وهذا يعني على وجه الخصوص أن خاصية أويلر للحدود التوافقية للمجسم متعدد السطوح هي 2. كما يضمن نموذج التشعب التوافقي للصلابة أن حدود الجسم الصلب تفصل الفضاء إلى مكونين بالضبط كنتيجة لنظرية جوردان-بروير، وبالتالي استبعاد المجموعات ذات الجوار غير المتشعب التي تعتبر مستحيلة التصنيع.

وفي هذا السياق، تتطابق نماذج المجموعات النقطية والنماذج التوافقية للأجسام الصلبة تمامًا، ويمكن استخدامها بالتبادل، بالاعتماد على خصائص الاستمرارية أو التوافقية حسب الحاجة، ويمكن توسيعها إلى n بُعدًا. الخاصية الأساسية التي تُسهّل هذا التطابق هي أن فئة المجموعات الفرعية المنتظمة المغلقة من 𝑅 𝑛 تتطابق تمامًا مع متعددات السطوح الطوبولوجية المتجانسة ذات n بُعدًا. لذلك، يمكن تمثيل أي جسم صلب ذي n بُعد بشكل لا لبس فيه بحدوده، وتتمتع هذه الحدود بالبنية التوافقية لمتعدد سطوح ذي n-1 بُعدًا له جوارات متجانسة ذات n-1 بُعدًا.

وعلى صعيد آخر، يعتمد مفهوم النمذجة الصلبة، كما يُمارس اليوم، على الحاجة المُلحة إلى اكتمال المعلومات في أنظمة النمذجة الهندسية الميكانيكية، بمعنى أن أي نموذج حاسوبي يجب أن يدعم جميع الاستعلامات الهندسية التي قد تُطرح على الجسم المادي المُقابل له. ويُقر هذا الشرط ضمنيًا بإمكانية وجود عدة تمثيلات حاسوبية لنفس الجسم المادي، طالما أن أي تمثيلين منها متسقان. ويستحيل التحقق حاسوبيًا من اكتمال المعلومات في أي تمثيل ما لم يُعرَّف مفهوم الجسم المادي بدلالة خصائص رياضية قابلة للحساب، وبشكل مستقل عن أي تمثيل مُحدد. وقد أدى هذا المنطق إلى تطوير نموذج النمذجة الذي شكّل مجال النمذجة الصلبة كما نعرفه اليوم.

في هذا الإطار، جميع المكونات المصنعة لها حجم محدود وحدود منتظمة، لذا انصب التركيز في البداية على النمذجة الرياضية للأجزاء الصلبة المصنوعة من مادة متجانسة متساوية الخواص، والتي يمكن إضافتها أو إزالتها. يمكن ترجمة هذه الخصائص المفترضة إلى خصائص المناطق، وهي مجموعات فرعية من الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد. يعتمد النهجان الشائعان لتعريف "الصلابة" على طوبولوجيا المجموعات النقطية والطوبولوجيا الجبرية على التوالي. يحدد كلا النموذجين كيفية بناء الأجسام الصلبة من قطع أو خلايا بسيطة.

من جهة ثانية، بحسب نموذج مجموعة النقاط المتصلة للصلابة، يمكن تصنيف جميع نقاط أي X ⊂ 𝑅 3 بحسب جوارها بالنسبة إلى X إلى نقاط داخلية أو خارجية أو حدودية. بافتراض أن 𝑅 3 مزودة بالمقياس الإقليدي النموذجي، فإن جوار النقطة p ∈X يأخذ شكل كرة مصمتة. لكي تُعتبر X صلبة، يجب أن يكون كل جوار لأي p ∈X ثلاثي الأبعاد بشكل متسق؛ تشير النقاط ذات الجوار الأقل بُعدًا إلى عدم وجود صلابة. يُضمن تجانس أبعاد الجوار لفئة المجموعات المنتظمة المغلقة، والتي تُعرف بأنها مجموعات تساوي إغلاق داخلها. يمكن تحويل أي مجموعة X ⊂ 𝑅 3 إلى مجموعة منتظمة مغلقة أو "مُنتظمة" بأخذ إغلاق داخلها، وبالتالي يُعرَّف فضاء نمذجة المجسمات رياضيًا بأنه فضاء المجموعات الجزئية المنتظمة المغلقة من 𝑅 3 (بحسب نظرية هاين-بوريل، يُفترض أن جميع المجسمات مجموعات متراصة). إضافةً إلى ذلك، يجب أن تكون المجسمات مغلقة تحت عمليات الجمع والطرح والقسمة المنطقية (لضمان الصلابة بعد إضافة المواد وإزالتها). قد لا ينتج عن تطبيق العمليات المنطقية القياسية على المجموعات المنتظمة المغلقة مجموعة منتظمة مغلقة، ولكن يمكن حل هذه المشكلة بتنظيم نتيجة تطبيق العمليات المنطقية القياسية. يُرمز إلى عمليات المجموعة المُنتظمة بالرموز ∪∗ و ∩∗ و −∗.

نمذجة الشبكات السطحية

من جهة ثانية، على غرار تمثيل الحدود، يتم تمثيل سطح الجسم. ولكن بدلاً من هياكل البيانات المعقدة وNURBS، تُستعمل شبكة سطحية بسيطة من الرؤوس والحواف. يمكن أن تكون الشبكات السطحية منظمة (كما في الشبكات المثلثية في أو الشبكات الرباعية ذات الحلقات الأفقية والرأسية من الأشكال الرباعية)، أو غير منظمة ذات مثلثات مجمعة عشوائيًا ومضلعات ذات مستوى أعلى.

هندسة

كذلك، بما أن برامج التصميم بمساعدة الحاسوب (CAD) التي تعمل على أجهزة الكمبيوتر "تفهم" الهندسة الحقيقية التي تتكون منها الأشكال المعقدة، فإنه يمكن حساب الكثير من خصائص الأجسام ثلاثية الأبعاد بسرعة، مثل مركز ثقلها وحجمها وكتلتها. مثلًا، يبلغ طول المكعب ذي الحواف المستديرة الموضح في أعلى هذه المقالة 8.4 ملم من سطح إلى آخر. وعلى الرغم من تعدد أنصاف أقطاره ووجود شكل هرمي ضحل على كل وجه من أوجهه الستة، إلا أنه يمكن للمصمم حساب خصائصه بسهولة، كما هو موضح في لقطة الشاشة على اليمين.

ملخص

وفي السياق ذاته، يُتيح استخدام تقنيات النمذجة الصلبة أتمتة الكثير من الحسابات الهندسية المعقدة التي تُجرى كجزء من عملية التصميم. وقد شكّلت محاكاة وتخطيط والتحقق من عمليات مثل التشغيل والتجميع أحد أهم العوامل المحفزة لتطوير النمذجة الصلبة. ومؤخرًا، اتسع نطاق تطبيقات التصنيع المدعومة بدرجة كبيرة ليشمل تصنيع الصفائح المعدنية، والقولبة بالحقن، واللحام، وتوجيه الأنابيب، وغيرها. وإلى جانب التصنيع التقليدي، تُشكّل تقنيات النمذجة الصلبة أساسًا للنماذج الأولية السريعة، وأرشفة البيانات الرقمية، والهندسة العكسية من خلال إعادة بناء الأجسام الصلبة من نقاط مُختارة على الأجسام المادية، والتحليل الميكانيكي باستخدام العناصر المحدودة، وتخطيط الحركة والتحقق من مسار التحكم العددي، والتحليل الحركي والديناميكي للآليات، وما إلى ذلك. وتتمثل إحدى المشكلات الرئيسية في جميع هذه التطبيقات في القدرة على تمثيل ومعالجة الهندسة ثلاثية الأبعاد بفعالية وبطريقة تتوافق مع السلوك الفيزيائي للقطع الحقيقية. وقد عالج البحث والتطوير في مجال النمذجة الصلبة الكثير من هذه المشكلات بفعالية، ولا يزال يُمثّل محورًا أساسيًا للهندسة بمساعدة الحاسوب.

الهندسة الصلبة البنائية

من جهة ثانية، الهندسة الصلبة البنائية (CSG) هي مجموعة من المخططات لتمثيل الأجسام الصلبة كتركيبات منطقية أو تركيبات من العناصر الأولية عبر عمليات المجموعات المنتظمة المذكورة سابقًا. تُعد تمثيلات CSG وتمثيلات الحدود في الوقت الحالي أهم مخططات تمثيل الأجسام الصلبة. تأخذ تمثيلات CSG شكل أشجار ثنائية مرتبة، حيث تمثل العقد غير الطرفية إما تحويلات صلبة (متماثلات تحافظ على الاتجاه) أو عمليات مجموعات منتظمة. أما العقد الطرفية فهي أوراق أولية تمثل مجموعات منتظمة مغلقة. دلالات تمثيلات CSG واضحة، فكل شجرة فرعية تمثل مجموعة ناتجة عن تطبيق التحويلات/عمليات المجموعات المنتظمة المشار إليها على المجموعة التي تمثلها الأوراق الأولية للشجرة الفرعية. تُعد تمثيلات CSG مفيدة بشكل خاص في تجسيد الغرض من التصميم في شكل ميزات تتوافق مع إضافة المواد أو إزالتها (مثل النتوءات والثقوب والتجاويف، إلخ). تشمل الخصائص الجذابة لـ CSG الإيجاز، وضمان صحة المجسمات، والخصائص الجبرية المنطقية الملائمة حسابيًا، والتحكم الطبيعي في شكل المجسم من خلال معلمات عالية المستوى تحدد العناصر الأولية للمجسم ومواقعها واتجاهاتها. وقد ساهمت بنية البيانات البسيطة نسبيًا والخوارزميات التكرارية الأنيقة في زيادة شعبية CSG.

تعداد الإشغال المكاني

من جانب آخر، هذا المخطط عبارة عن قائمة بالخلايا المكانية التي يشغلها المجسم. تُسمى هذه الخلايا كذلك فوكسلات، وهي مكعبات ذات حجم ثابت، مرتبة في شبكة مكانية ثابتة (مع إمكانية وجود ترتيبات متعددة الأوجه أخرى، إلا أن المكعبات هي الأبسط). يمكن تمثيل كل خلية بإحداثيات نقطة واحدة، مثل مركز الخلية. عادةً ما يُفرض ترتيب مسح محدد، وتُسمى مجموعة الإحداثيات المرتبة المقابلة بالمصفوفة المكانية. تُعد المصفوفات المكانية تمثيلات فريدة وواضحة للمجسمات، لكنها مطولة جدًا بحيث لا يمكن استخدامها كتمثيلات "رئيسية" أو تعريفية. مع ذلك، يمكنها تمثيل تقريبات تقريبية للأجزاء، ويمكن استخدامها لتحسين أداء الخوارزميات الهندسية، خاصةً عند استخدامها مع تمثيلات أخرى مثل الهندسة المجسمة البنائية.