نقطة مثالية

نموذج قرص بوانكاريه

وعلى صعيد آخر، حيث تُقاس المسافات المذكورة عبر القطع المستقيمة المباشرة: aq و ap و pb و qb.

إضافةً إلى ذلك، عند اختيار نقطتين مختلفين p و q داخل القرص الواحدي المفتوح، فإن قوس الدائرة الفريد المرسام العمودي على الحدود والواصل بينهما يتقاطع مع دائرة الوحدة في نقطتين مثاليتين، هما a و b؛ مرتبةً بالترتيب التالية: a ثم p ثم q ثم b، بحيث يكون |aq| > |ap| و |pb| > |qb|. عندئذٍ يُعَبَّر عن المسافة الزائدية بين النقطتين p و q بالعلاقة التالية:

التمثيل في نماذج الهندسة الزائدية

وعلى صعيد آخر، في كلٍّ من نموذج قرص كلاين ونموذج قرص بوانكاريه للمستوي الزائدي، تقع النقاط المثالية على دائرة الوحدة (في المستوي الزائدي) أو كرة الوحدة (في الأبعاد الأعلى)، وهي الحدود التي لا يمكن الوصول إليها في المستوي الزائدي.

في هذا الإطار، عند إرداف (إسقاط) المستقيم الزائدي نفسه على نموذج قرص كلاين ونموذج قرص بوانكاريه، يمر كلا المستقيمين عبر النقطتين المثاليتين ذاتهما (أي أن النقاط المثالية تقع في نفس الموضع في كلا النموذجين).

نموذج نصف المستوي لبوانكاريه

وعلى صعيد آخر، في نموذج نصف المستوي لبوانكاريه، تُمثل النقاط المثالية عبر النقاط الواقعة على محور الحدود (محور السينات/الأعداد الحقيقية). وتوجد كذلك نقطة مثالية أخرى لا تظهر مباشرة في نموذج نصف المستوي (ولكن تتجه إليها الأشعة الموازية للمحور الصادي الموجب).

متعدد وجوه مثالي

نقطة في اللانهاية لاستخداماتها في الهندسات الأخرى.

نموذج قرص كلاين

وفي هذا الصدد، عند اختيار نقطتين مختلفين p و q داخل القرص الواحدي المفتوح، فإن المستقيم الفريد الواصل بينهما يتقاطع مع دائرة الوحدة في نقطتين مثاليتين، هما a و b؛ مرتبةً بالترتيب التالية: a ثم p ثم q ثم b، بحيث يكون |aq| > |ap| و |pb| > |qb|. عندئذٍ يُعَبَّر عن المسافة الزائدية بين النقطتين p و q بالعلاقة التالية:

المربع المثالي

وفي هذا الصدد، يمكن تقسيم المضلع المثالي ذي ضلعاً إلى مثلثاً مثالياً، وتكون مساحته مساوية لـ مضروبة في مساحة المثلث المثالي الواحد.

علاوةً على ذلك، استعمله الرياضي فيرديناند كارل شفايكارت (Ferdinand Karl Schweikart) في مذكرته حول ما أسماه "الهندسة النجمية" (Astral geometry)، والتي كانت واحدة من أولى المنشورات التي أقرت بإمكانية وجود هندسة زائدية.

المضلعات المثالية النونية (n-gon)

وفي هذا السياق، يُشكل الرباعي المثالي الذي يتسامت قطراه بـ تعامد تام ما يُعرف بـ المربع المثالي.

المثلثات المثالية

• تتضمن بعض خصائص المثلثات المثالية ما يلي:
• جميع المثلثات المثالية متطابقة.
• الزوايا الداخلية للمثلث المثالي جميعها تساوي الصفر.
• أي مثلث مثالي له محيط لا نهائي.

وفي السياق ذاته، إذا كانت جميع رؤوس مثلث زائدي عبارة عن نقاط مثالية، فإن المثلث يُسمى مثلثاً مثالياً.

من جهة ثانية، مساحة أي مثلث مثالي تساوي ؛ حيث تمثل K انحناء المستوي (والذي يكون سالباً دائماً).

الرباعيات المثالية

أي رباعي مثالي محدب له محيط لا نهائي.

وفي السياق ذاته، إذا كانت جميع رؤوس رباعي أضلاع عبارة عن نقاط مثالية، يُسمى الشكل رباعياً مثالياً.

وعلى صعيد آخر، مساحة أي رباعي مثالي محدب تساوي ؛ حيث تمثل K انحناء المستوي (والذي يكون سالباً دائماً).

الزوايا الداخلية للرباعي المثالي المحدب جميعها تساوي الصفر.

وفي السياق ذاته، على العكس من المثلثات المثالية التي تكون جميعها متطابقة، ليست جميع الرباعيات المثالية المحدبة متطابقة. إذ يمكن أن تختلف عن بعضها البعض — مثلًا — في الزاوية التي يتقاطع بها قطراها. ومع ذلك، تشترك جميع الرباعيات المثالية المحدبة في خصائص معينة:

الخصائص

في هذا الإطار، المسافة الزائدية بين نقطة مثالية وأي نقطة أخرى (أو نقطة مثالية أخرى) هي مسافة لا نهائية.

ومن جهة أخرى، مراكز الدوائر الأفقية (Horocycles) والكرات الأفقية (Horoballs) هي نقاط مثالية؛ وتكون أيتان من الدوائر الأفقية متحدة المركز عندما تتشاركان المركز المثالي نفسه.

المضلعات ذات الرؤوس المثالية

نموذج الهذلول

• في نموذج الهذلول لا توجد نقاط مثالية ظاهرة.
• انظر كذلك
• مثلث مثالي