مترية كايلي–كلاين

هندسة كايلي–كلاين التآلفية

وعلى صعيد آخر، لتكن النقطتان P = (1,0,0) و Q = (0,1,0) واقعتين على المطلق، بحيث يكون المستقيم f كما ذكر أعلاه. يُعتبر القطع الزائد القائم في المستوي (x,y) ماراً بالنقطتين P و Q على مستقيم اللانهاية. وتُسمى هذه المنحنيات بالدوائر شبه الإقليدية (pseudo-Euclidean circles).

من جهة ثانية، إذا احتوى المطلق على مستقيم، فنحصل على عائلة جزئية من هندسات كايلي–كلاين التآلفية. وإذا تكون المطلق من مستقيم f ونقطة F تقع على f، نحصل على الهندسة المتناحية (isotropic geometry). ويكون الظل المتناحي أو الدائرة المتناحية عبارة عن قطع مخروطي يمس المستقيم f عند النقطة F.

التاريخ

من جانب آخر، في سنة 2008، عمم هورست مارتيني ومارغاريتا سبيروفا الأولى من مبرهنات دوائر كليفورد والهندسة الإقليدية الأخرى باستخدام الهندسة التآلفية المرتبطة بمطلق كايلي:

وفي السياق ذاته، عند استخدام الإحداثيات المتجانسة (x,y,z)، فإن المستقيم f في اللانهاية هو z = 0. وإذا كانت النقطة F = (0,1,0)، فإن القطع المكافئ الذي يكون قطره موازياً لمحور الصادات يُعد دائرة متناحية.

وفي السياق ذاته، استعمل دراسة مارتيني وسبيروفا الأعداد الثنائية (Dual numbers) للهندسة المتناحية والأعداد العقدية المنقسمة للهندسة شبه الإقليدية. وترتبط هذه الأعداد العقدية المعممة بهندساتها كما ترتبط الأعداد العقدية العادية بالهندسة الإقليدية.

كلاين

• انظر كذلك
• مترية هيلبرت
• اقتباسات
• مراجع

من جهة ثانية، ومن خلال تشكيل المطلقين و لعنصرين، عرّف المسافة المترية بينهما بدلالة النسبة التصالبية:

وفي السياق ذاته، استعمل كلاين الشكل كمطلق كايلي للهندسة الإهليلجية، بينما ربط بالهندسة الزائدية الشكل وبديلًا عنه معادلة كرة الوحدة . وناقش في النهاية ثباتها بالنسبة للتضامات وتحويلات موبيوس التي تمثل الحركات في الفضاءات غير الإقليدية.

ومن ناحية أخرى، لخّص روبرت فريك وكلاين كل هذا في مقدمة الجزء الأول من المحاضرات حول الدوال ذاتية التشاكل (Automorphic functions) عام 1897، حيث استعملوا كمطلق في هندسة المستوي، و فضلًا عن للفضاء الزائدي. أُعيد نشر محاضرات كلاين حول الهندسة غير الإقليدية بعد وفاته في مجلد واحد، حيث حررها والتر روزمان بشكل مكثف عام 1928. كما قدّم أيكامبو وبابادوبولوس (2014) تحليلاً تاريخياً لأعمال كلاين في الهندسة غير الإقليدية.

وفي هذا السياق، أعاد فيليكس كلاين (1871) صياغة تعبيرات كايلي على النحو التالي: كتب السطح المطلق (الذي سماه القطع المخروطي الأساسي) بدلالة الإحداثيات المتجانسة:

وفي هذا السياق، كما ناقش ثباتها بالنسبة للتضامات (Collineations) وتحويلات موبيوس التي تمثل الحركات في الفضاءات غير الإقليدية.

علاوةً على ذلك، أما في الجزء الثاني الذي ضم محاضرات الفصل الدراسي الصيفي لعام 1890 (ونُشر كذلك عام 1892/1893)، فقد ناقش كلاين الفضاء غير الإقليدي بمترية كايلي:

علاوةً على ذلك، وفي المستوي، تُطبق العبارات نفسها للمسافات المترية، باستثناء أن و ترتبطان الآن بثلاثة إحداثيات لكل منهما. وتناول كلاين كحالة خاصة للقطع المخروطي الأساسي المعادلة ؛ والتي ترتبط بالهندسة الزائدية عندما تكون حقيقية، وبالهندسة الإهليلجية عندما تكون تخيلية. وتمثل التحويلات التي تُبقي هذا الشكل متباينًا (ثابتًا) حركات في الفضاء غير الإقليدي المناظر. وبدلاً من ذلك، استعمل معادلة الدائرة على الصورة ، والتي ترتبط بالهندسة الزائدية عندما تكون موجبة (نموذج بيلترامي–كلاين) أو بالهندسة الإهليلجية عندما تكون سالبة. أما في الفضاء، فقد ناقش الأسطح الأساسية من الدرجة الثانية، حيث تشير الأسطح التخيلية إلى الهندسة الإهليلجية، وتتوافق الأسطح الحقيقية والمستقيمة مع سطح زائدي قطعة واحدة دون وجود صلة بإحدى الهندسيات الثلاث الرئيسية، بينما تشير الأسطح الحقيقية غير المستقيمة إلى الفضاء الزائدي.

من جهة ثانية، وواصل إثبات أنه يمكن تحويل تنويعات هذا الشكل التربيعي الرباعي إلى واحد من الأشكال الخمسة التالية عن طريق تحويلات خطية حقيقية:

وفي السياق ذاته، في الجزء الأول من محاضراته حول الهندسة غير الإقليدية في الفصل الدراسي الشتوي 1889/1890 (والتي نُشرت عام 1892/1893)، ناقش المستوي غير الإقليدي باستخدام هذه التعبيرات للمطلق:

من جانب آخر، وفي بحثه الصادر عام 1873، أشار إلى العلاقة بين مترية كايلي وزمرات التحويل. وعلى وجه الخصوص، يمكن تحويل المعادلات التربيعية ذات المعاملات الحقيقية، والتي تتوافق مع أسطح من الدرجة الثانية، إلى مجموع مربعات يظل الفرق بين عدد إشاراتها الموجبة والسالبة ثابتًا (وهو ما يُعرف في الوقت الحالي بقانون عطالة سيلفيستر). وإذا كانت إشارة جميع المربعات متماثلة، يكون السطح تخيلياً وذو انحناء موجب. أما إذا اختلفت إشارة واحدة عن البقية، فيصبح السطح سطحاً ناقصياً أو سطحاً زائديًا ذو قطعتين بإنحناء سالب.

النسبية الخاصة

كذلك، أي إن السطح المطلق أو في الهندسة الزائدية (كما نوقش أعلاه)، يناظر الفواصل الزمانية المكانية أو في الزمكان، ويمكن ربط تحويلاتها التي تترك السطح المطلق لامتغيراً بتحويلات لورينتز. وبالمثل، فإن معادلات دائرة الوحدة أو كرة الوحدة في الهندسة الزائدية تناظر السرعات الفيزيائية أو في النسبية، والتي تكون محدودة بسرعة الضوء ، بحيث تكون نسبة أي سرعة فيزيائية إلى سرعة الضوء محصورة داخل كرة الوحدة، وتُشكل مساحة سطح الكرة مطلق كايلي لهذه الهندسة.

في هذا الإطار، أشار كلاين عام 1910 إلى تفاصيل إضافية حول العلاقة بين مترية كايلي–كلاين للفضاء الزائدي وفضاء مينكوفسكي في النسبية الخاصة، وكذلك في طبعة عام 1928 من محاضراته عن الهندسة غير الإقليدية.

ومن جهة أخرى، «إن الحالة في العالم رباعي الأبعاد أو (للبقاء في ثلاثة أبعاد واستخدام إحداثيات متجانسة) قد اكتسبت مؤخراً أهمية خاصة من خلال النسبية الخاصة في الفيزياء.»

ومن جهة أخرى، في محاضراته عن تاريخ الرياضيات للأعوام 1919/1920، والمنشورة بعد وفاته عام 1926، كتب كلاين:

النسبة التصالبية والمسافة

من جانب آخر، ينقل p إلى الصفر و q إلى اللانهاية. علاوة على ذلك، فإن نقطة المنتصف (p+q)/2 تنتقل إلى [1:1]. يأخذ اللوغاريتم الطبيعي صورة القطعة المستقيمة [p,q] إلى مستقيم الأعداد الحقيقية، حيث تكون قيمة اللوغاريتم لصورة نقطة المنتصف مساوية لـ 0.

علاوةً على ذلك، في فضاء إسقاطي يحتوي على P(R)، افترض أن قطعاً مخروطياً K مُعطى، وتدعو النقاط p و q لتكون عليه. قد يمتلك التحويل التناظري على الفضاء الأكبر القطعَ المخروطي K كـ عنصر صامد حيث يبدل نقاط الفضاء. يُستحث من مثل هذا التحويل التناظري تحويلٌ آخر على P(R)، وبما أن p و q تبقيان على K، فإن النسبة التصالبية تظل لامتغيرة (صامدة). تتيح التحويلات التناظرية الأعلى وجود حركات للمنطقة المحاطة بـ K، مع تحويلات تحافظ على المسافة، وهي ما تُعرف بـ التقايس (isometric).

والذي ينقل [w,1] إلى [1 : 1].

إضافةً إلى ذلك، توضح مترية كايلي–كلاين أولاً على مستقيم الأعداد الحقيقية الإسقاطي P(R) والإحداثيات المتجانسة. عادةً لا ترتبط الهندسة الإسقاطية بالهندسة المترية، ولكن وجود تحويل تناظري (homography) مع اللوغاريتم الطبيعي يصنع هذا الربط. لنبدأ بنقطتين p و q على P(R). في الغمر القياسي تكونان [p:1] و [q:1]. التطبيق التناظري:

وفي هذا الصدد، بالنسبة للمسافة بين نقطتين في القطعة المستقيمة، تُستعمل مترية كايلي–كلاين لوغاريتم النسبة بين النقاط.

إضافةً إلى ذلك، إن تركيب التحويلين التناظريين الأول والثاني ينقل a إلى 1، مما يعاير نقطة اختيارية a داخل القطعة المستقيمة. يُطلق على التحويلات التناظرية المركبة اسم النسبة التصالبية لـ p و q و a. غالباً ما تُقدم النسبة التصالبية كدالة لأربع قيم؛ حيث تُحدد ثلاث قيم منها التحويل التناظري بينما القيمة الرابعة هي عمدة هذا التحويل. وتكون مسافة هذه النقطة الرابعة عن الصفر هي لوغاريتم التحويل التناظري المحسوب.

في هذا الإطار، وكما تُحفظ النسبة عند إعادة تغيير تناسب البسط والمقام بشكل متساوٍ، فإن لوغاريتم هذه النسب يُحفظ كذلك. تُتيح مرونة النسب هذه نقل نقطة الصفر للمسافة: لنقلها إلى a، نطبق التحويل التناظري أعلاه، للحصول على w مثلاً. ثم نشكل التحويل التناظري التالي:

كايلي

• وتُعطى المسافة بين نقطتين عندئذٍ بالعلاقة:
• في البعدين:
• مع المسافة:
• والتي ناقش منها الحالة الخاصة مع المسافة:
• كما أشار كذلك إلى الحالة (كرة الوحدة).

وفي السياق ذاته، عرّف آرثر كايلي (1859) "المطلق" الذي بنى عليه متريته الإسقاطية كمعادلة عامة لسطح من الدرجة الثانية بدلالة الإحداثيات المتجانسة:

مصادر ثانوية

وعلى صعيد آخر، ألفريد نورث وايتهيد (1898) Universal Algebra, Book VI Chapter 1: Theory of Distance, pp. 347–70, especially Section 199 Cayley's Theory of Distance.

من جهة ثانية، Reprinted in English translation by David Delphenich: On the geometric foundations of the Lorentz group

كذلك، Harvey Lipkin (1985) Metrical Geometry from معهد جورجيا التقني

ومن ناحية أخرى، دنكان سومرفيل (1910/11) "Cayley–Klein metrics in n-dimensional space", Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society 28:25–41.

re-issued 1956 by Dover Publications, Inc.

ومن ناحية أخرى، ; English translation: Development of Mathematics in the 19th Century by M. Ackerman, روبرت هرمان

تستخدم حسابيات الأعداد العقدية

وفي هذا الصدد، مفهوم المسافة بالنسبة لـ P(R) الذي تم تقديمه في القسم السابق متاح لأن P(R) محتواة في كل من P2(R) و P(C). لنفترض أن نقطتين a و b تقعان داخل الدائرة في P2(R). عندئذٍ تقعان على مستقيم يتقاطع مع الدائرة في النقطتين p و q. وتكون المسافة من a إلى b هي لوغاريتم قيمة التحويل التناظري — المتولد أعلاه بواسطة p و q و a — عند تطبيقه على النقطة b. في هذه الحالة، تكون الخطوط المتقاصرة (الجيوديسيات) داخل القرص عبارة عن قطع مستقيمة.

وعلى صعيد آخر، من ناحية أخرى، تكون الخطوط المتقاصرة عبارة عن أقواس من دوائر معممة داخل القرص في المستوي العقدي. تبدل هذه الفئة من المنحنيات بواسطة تحويلات موبيوس، والتي تُعد مصدر حركات هذا القرص التي تترك دائرة الوحدة كـ عنصر صامد. عند اختيار نقطتين a و b داخل هذا القرص، توجد دائرة معممة فريدة تتقاطع مع دائرة الوحدة بزوايا قائمة، ولتكن نقاط التقاطع هي p و q. ومجدداً، لحساب المسافة من a إلى b، ننشئ أولاً التحويل التناظري للنقاط p, q, و a، ثم نحسب قيمته عند النقطة b، وأخيراً نطبق اللوغاريتم. إن نموذجي الهندسة الزائدية المكتسبين بهذه الطريقة هما نموذج كايلي–كلاين ونموذج قرص بوانكاريه.

في هذا الإطار، وتوجد في كرة ريمان P(C)، وهي تختلف عن المستوي الإسقاطي الحقيقي P2(R).

تاريخية

(second print, first print in 1892)

(second print, first print in 1892)

والتي تناظر

من ناحية أخرى، فإن دائرة الوحدة في المستوي العقدي العادي

تطبيقات القرص

وعلى صعيد آخر، نفترض أنه تم اختيار دائرة وحدة لتكون بمثابة المطلق. قد تكون هذه الدائرة في المستوي الإسقاطي الحقيقي P2(R) على الصورة:

الأساسيات

وعلى صعيد آخر، تُعد "مبرهنة شتاوت" (كارل جورج كريستيان فون شتاوت، 1847) نهجاً للهندسة مستقلاً عن الفضاء المتري. استندت الفكرة إلى استخدام العلاقة بين المرافقات التوافقية الإسقاطية والنسب التصالبية كأساس للقياس على المستقيم. وكان من الرؤى المهمة الأخرى ظهور صيغة لاجير بواسطة إدموند لاجير (1853)، الذي أظهر أن الزاوية الإقليدية بين مستقيمين يمكن التعبير عنها كلوغاريتم لنسبة تصالبية. وأخيراً، صاغ كايلي (1859) علاقات للتعبير عن المسافة بدلالة مترية إسقاطية، وربطها بالسطوح التربيعية العامة أو القطوع المخروطية التي تعمل كـ مطلق (absolute) للهندسة. قام كلاين (1871، 1873) بإزالة آخر المتبقيات من المفاهيم المترية من عمل فون شتاوت ودمجها مع نظرية كايلي، من أجل بناء مترية كايلي الجديدة على اللوغاريتم والنسبة التصالبية كعدد متولد من الترتيب الهندسي لأربع نقاط. هذا الإجراء ضروري لتجنب التعريف الدائري للمسافة إذا كانت النسبة التصالبية مجرد نسبة مضاعفة لمسافات معرفة سابقاً. وعلى وجه الخصوص، أظهر أن الهندسات غير الإقليدية يمكن أن تتأسس على مترية كايلي–كلاين.

من جهة ثانية، لخّص هورست ورولف ستروف نطاق هندسة كايلي–كلاين عام 2004 كما يلي:

ومن ناحية أخرى، تُعد مخططات فورونوي وفق مترية كايلي–كلاين مخططات متآلفة ذات مستويات فائقة منصفة خطية.

وفي السياق ذاته، هندسة كايلي–كلاين هي دراسة زمرة الحركات التي تترك مترية كايلي–كلاين غير متغيرة (صامدة). وتعتمد على اختيار سطح تربيعي أو قطع مخروطي يمثل المطلق للفضاء. وتُمثل هذه الزمرة بواسطة التحويلات الخطية الإسقاطية (collineations) التي تترك السطح المطلق لامتغيراً. وبالفعل، فإن النسبة التصالبية تظل لامتغيرة تحت أي تحويل خطي إسقاطي، كما يُتيح المطلق المستقر إجراء المقارنة المترية، والتي ستكون عبارة عن مساواة. مثلًا، تُمثل دائرة الوحدة المطلقَ لنموذج قرص بوانكاريه ونموذج بيلترامي–كلاين في الهندسة الزائدية. وبالمثل، يُشكل مستقيم الأعداد المطلقَ لنموذج نصف المستوي لبوانكاريه.

ومن جهة أخرى، توجد ثلاثة سطوح مطلقة في مستقيم الأعداد الحقيقية الإسقاطي، وثمانية في المستوي الإسقاطي الحقيقي، و18 في الفضاء الإسقاطي الحقيقي. ويمكن تعريف جميع الفضاءات الإسقاطية الكلاسيكية غير الإقليدية كالفضاء الزائدي والناقصي والجليلي والمنكوفسكي وثنائياتها بهذه الطريقة.