عازل طوبولوجي

العوازل الطوبولوجية القائمة على البزموت

من جهة ثانية، وقد نُمّيت كالكوجينيدات البزموت بنجاح على ركائز مختلفة؛ فقد كانت السيليكون ركيزة جيدة لنمو Bi2Te3 بنجاح. غير أن استخدام الياقوت الأزرق (السفير) كركيزة لم يكن مشجّعاً بسبب عدم تطابق كبير يبلغ نحو 15٪. ويمكن لاختيار الركيزة المناسبة أن يحسّن الخصائص العامة للعازل الطوبولوجي. ويمكن لاستخدام طبقة عازلة (Buffer) أن يقلل من عدم تطابق الشبيكة، وبالتالي يحسّن الخصائص الكهربائية للعازل الطوبولوجي. ويمكن تنمية Bi2Se3 فوق طبقات عازلة مختلفة من Bi_{2-x}In_xSe3. ويُظهر الجدول أدناه Bi2Se3 وBi2Te3 وSb2Te3 على ركائز مختلفة وعدم التطابق الشبيكي الناتج. وبشكل عام، تتميز الأغشية الناتجة بسطح ذي نسيج يتّسم بمجالات بلورية مفردة هرمية بدرجات من طبقات خماسية. ويعاني تخليق الأغشية الرقيقة من مشكلة القياس المتكافئ (الستوكيومتري) بسبب ضغوط البخار العالية للعناصر. لذا تُطعَّم مركبات التترادايمايت الثنائية خارجياً إما من النوع n (Bi2Se3، Bi2Te3) أو من النوع p (Sb2Te3). ونظراً لضعف ترابط فان دير فالس، يُعدّ الغرافين أحد الركائز المفضلة لنمو العازل الطوبولوجي رغم عدم التطابق الشبيكي الكبير.

وفي هذا الصدد، انصبّ تركيز مجال العوازل الطوبولوجية حتى الآن على المواد القائمة على كالكوجينيدات البزموت والأنتيمون، مثل Bi2Se3، وBi2Te3، وSb2Te3، وBi_{1-x}Sb_x، وBi_{1.1}Sb_{0.9}Te2S. ويعود اختيار الكالكوجينيدات إلى ارتخاء تطابق الشبيكة بفعل قوى فان دير فالس، مما يحصر عدد المواد والركائز الممكنة. وقد دُرست كالكوجينيدات البزموت باستفاضة للعوازل الطوبولوجية وتطبيقاتها في المواد الكهروحرارية. ويُظهر تفاعل فان دير فالس في العوازل الطوبولوجية خصائص مهمة بسبب انخفاض طاقة السطح؛ فمثلاً يُنتهى سطح Bi2Te3 عادةً بذرات التيلوريوم بسبب انخفاض طاقة سطحها.

الأطوار العازلة بوصفها عناصر من زمرة التماثل

ومن جهة أخرى، يمكن تعريف المتجه الوحدوي على أنه ما دام ؛ لذلك لا يمكن إسقاط المنحنيات أو الأسطح التي تمر بالأصل إسقاطاً مستمراً على الكرة الثنائية . ويفصل بين عنصرين من زمرة التماثل انقطاعٌ ما، لذا يجب أن يصفا منحنيات أو أسطحاً تمثلها لا يمكن تحويل أحدها إلى الآخر إلا بالمرور بالأصل في فضاء . وبالنظر إلى صيغة هاملتونيان بلوخ ثنائي النطاق السابقة، يتبين أنه إذا كان فإن الهاملتونيان يصبح متنكساً، وبالتالي لا بد أن تتلامس العصابتان الإلكترونيتان. ومن ثم، بحسب نظرية العصابات، يصف الهاملتونيان ثنائي النطاق موصلاً إذا مرّت بالأصل عند نقطة ما في منطقة بريلوان. ويمكن استنتاج أن عنصرين من زمرة التماثل يقابلان هاملتونيانين عازلين يفصل بينهما طور موصل؛ أو بعبارة أخرى، لا يمكن ربط هذين الهاملتونيانين أدياباتياً. ويقال إن زوجي الهاملتونيانات اللذين يمثلان عنصرين مختلفين من زمرة التماثل يمتلكان طوبولوجيا مختلفة.

في هذا الإطار، ولا يمكن أن تتغير تكاملات ارتباط بيري على منطقة بريلوان بصورة مستمرة بين هاملتونيانات ذات طوبولوجيا مختلفة، لأنها تعتمد على التطبيق الذي لا يمكن أن يتغير بسلاسة بين هذين الهاملتونيانين. ويتبين أن هذا التكامل يمثل ثابتاً طوبولوجياً. فمثلًا، في الحالة التي يقع فيها على مستوٍ، يمكن البرهنة، باستخدام المصفوفة الوحدوية التي تقطر الهاملتونيان

نمو العوازل الطوبولوجية بتقنية PVD

علاوةً على ذلك، ويُعدّ التحكم بالسُمك مهماً بشكل خاص للعوازل الطوبولوجية ثلاثية الأبعاد، حيث تهيمن عادة القنوات الإلكترونية الاعتيادية (الحجمية) على خصائص النقل وتحجب استجابة الأنماط الطوبولوجية (السطحية). وبتقليل السُمك، يخفَّض إسهام القنوات الحجمية في التوصيل الكلي، مما يجبر الأنماط الطوبولوجية على حمل التيار الكهربائي.

وفي هذا السياق، لا تعاني تقنية الترسيب الفيزيائي بالبخار (PVD) من عيوب طريقة التقشير، وفي الوقت ذاته فهي أبسط وأرخص بكثير من النمو المتحكَّم به بالكامل بواسطة النمو بالحزمة الجزيئية. وتتيح طريقة PVD تخليقاً قابلاً للتكرار لبلورات مفردة من موادّ طبقية شبه ثنائية الأبعاد متعددة، بما فيها العوازل الطوبولوجية (مثل Bi2Se3، وBi2Te3). وتمتلك البلورات المفردة الناتجة توجّهاً بلورياً محدَّداً جيداً؛ إذ يمكن التحكم في تركيبها وسُمكها وحجمها والكثافة السطحية على الركيزة المرغوبة.

طوبولوجيا منطقة بريلوان

وفي هذا السياق، النظام الدوري هو، بحكم التعريف، ثابت تحت بعض عمليات الإزاحة، مما يتيح تصنيف الحالات الذاتية لهاملتونيان دوري باستخدام القيم الذاتية لمؤثرات الإزاحة التي تترك النظام دون تغيير. وتسمى هذه القيم الذاتية «كمية الحركة البلورية» (أو شبه كمية الحركة)، وتكتب عادة على الصورة ، حيث هو عدد أبعاد النظام. وتؤدي هذه الأعداد الكمومية دوراً مماثلاً لمتجه الموجة لجسيم حر.

من جانب آخر، ونتيجة لدورية منطقة بريلوان، فإن حوافها (أو أوجهها) المتقابلة تُطابق بعضها مع بعض، ومن ثم فإن منطقة بريلوان ذات البعد ذات طوبولوجيا الطارة .

إضافةً إلى ذلك، وتفرض دورية البلورة دوريةً مماثلة في فضاء ؛ إذ إن و (حيث متجه في الشبيكة العكسية) يصفان الحالة نفسها (أو مجموعة الحالات نفسها). وتسمى مجموعة جميع شبه كميات الحركة غير المتكافئة تحت الإزاحة بمتجهات الشبيكة العكسية «منطقة بريلوان».

على أن

حيث تمثل زاوية على الدائرة، ومن ثم فإن

ومن جهة أخرى، يمثل رقم اللف. وكما ذُكر سابقاً، فإن الثوابت الطوبولوجية ثابتة تحت تحويل المقياس، ولذلك يمكن أن تمثل كميات قابلة للرصد فيزيائياً. ومن أشهر هذه الكميات عدد حالات الحافة (انظر مثلاً نموذج سو-شريفر-هيغر) وموصلية هول في تأثير هول الكمومي الصحيح.

الخصائص والتطبيقات

كذلك، ومن أبرز التطبيقات المتوقعة للعوازل الطوبولوجية أجهزة السبينترونيات والترانزستورات عديمة التبديد للحواسيب الكمومية اعتماداً على تأثير هول المغزلي الكمومي وتأثير هول الشاذ الكمومي. كما وجدت مواد العوازل الطوبولوجية تطبيقات عملية في أجهزة المغناطيسية الإلكترونية والبصريات الإلكترونية المتقدمة.

من جانب آخر، يتيح اقتران اللَّف المغزلي بالزخم (Spin-momentum locking) في العوازل الطوبولوجية أن تستضيف الحالات السطحية المحمية بالتناظر جسيمات ماجورانا إذا حُثّت الموصلية الفائقة على سطح العازل الطوبولوجي ثلاثي الأبعاد عبر تأثير التقارب. (علماً أن نمط ماجورانا الصفري يمكن أن يظهر كذلك دون وجود عوازل طوبولوجية).)

إضافةً إلى ذلك، ويكمن الطابع الطوبولوجي غير التقليدي للعوازل الطوبولوجية في وجود غاز من فرميونات ديراك الحلزونية. وقد شوهدت جسيمات ديراك التي تتصرف كفرميونات نسبية عديمة الكتلة في عوازل طوبولوجية ثلاثية الأبعاد.

كذلك، وبشكل أعم، فيما يُعرف بـ«الطريقة العشرية» (ten-fold way)، فإن لكل بُعد فراغي، ولكل فئة من فئات ألتلاند–زيرنباور العشر لتناظر الهاملتونيانات العشوائية، والمصنفة بحسب تناظر الانعكاس الزمني وتناظر جسيم–ثقب (particle-hole) والتناظر الكيرالي، زمرةً مقابلة من الثوابت الطوبولوجية (إما أو أو زمرة تافهة)، كما يبين «الجدول الدوري للثوابت الطوبولوجية».

من جانب آخر، وتجدر الإشارة إلى أن الحالات السطحية عديمة الفجوة في العوازل الطوبولوجية تختلف عن نظيراتها في تأثير هول الكمومي؛ فالحالات السطحية في العوازل الطوبولوجية محمية بالتناظر (أي إنها ليست طوبولوجية)، في حين أن الحالات عديمة الفجوة في تأثير هول الكمومي طوبولوجية بالفعل (أي متينة أمام أي اضطراب موضعي قادر على كسر جميع التناظرات). ولا يمكن قياس الثوابت الطوبولوجية بطرائق النقل التقليدية، مثل موصلية هول للَّف المغزلي، كما أن النقل لا يتكمم وفق ثوابت . وقد بُرهن تجريبياً على طريقة لقياس الثوابت الطوبولوجية ، توفر مقياساً للنظام الطوبولوجي . (ويُشار إلى أن مصطلح «النظام الطوبولوجي » استُخدم كذلك لوصف نظام طوبولوجي آخر ذي نظرية مقياس ناشئة، اكتُشف عام 1991).

التصنيع

وفي هذا الصدد، يمكن تنمية العوازل الطوبولوجية باستخدام طرق مختلفة، منها الترسيب الكيميائي بالبخار المعدني العضوي (MOCVD)، والترسيب الفيزيائي بالبخار (PVD)، والتخليق الحراري المذيبي، والتقنية فوق الصوتية، والنمو بالحزمة الجزيئية (MBE).

علاوةً على ذلك، وتُعدّ تقنية MBE الأكثر شيوعاً تجريبياً. ويُحكَم نموّ الأغشية الرقيقة للعوازل الطوبولوجية بواسطة قوى فان دير فالس الضعيفة. ويُعرف هذا التفاعل في نمو البلورات كذلك باسم «النمو الفوقي بفان دير فالس» (VDWE)، وهو ظاهرة تحكمها قوى فان دير فالس الضعيفة بين المواد الطبقية من عناصر مختلفة أو متشابهة تتراكم فوق بعضها البعض. ويتيح هذا النهج تنمية عوازل طوبولوجية طبقية على ركائز أخرى لأغراض البُنى غير المتجانسة والدوائر المتكاملة.

التوصيف والتعرّف

علاوةً على ذلك، تبدأ عملية التعرّف على العوازل الطوبولوجية مباشرة بعد تخليقها، أي قبل كسر حالة التفريغ أو تعريض العينة للغلاف الجوي. ويمكن إجراء ذلك باستخدام تقنيتي الطيفية الضوئية الانبعاثية زاوية الانحلال (ARPES) أو المجهر النفقي الماسح (STM). وتشمل الفحوص الإضافية تقنياتٍ بنيوية وكيميائية، مثل حيود الأشعة السينية والطيفية التشتتية للأشعة السينية المميزة للطاقة (EDS)، إلا أن حساسية هذه القياسات قد تبقى محدودة تبعاً لجودة العينة. ولا تكفي قياسات النقل وحدها لتحديد الطوبولوجيا من النوع ، وذلك بحكم تعريف هذه الحالة.

بحيث

ومن جهة أخرى، حيث تمثل محور الدوران، ويحدد مقدارها زاوية الدوران. ويمكن استنتاج الطاقات من العلاقة

كذلك، والأهم من ذلك أن الدوران لا يعتمد إلا على اتجاه ، لذا فإن الحالات الذاتية لـ لا تعتمد على مقدار ، وكذلك أي كمية تعتمد على الحالات الذاتية وحدها.

عوازل فلوكيه الطوبولوجية

وعلى صعيد آخر، يصعب تصنيع العوازل الطوبولوجية، وتبقى محدودة من حيث الأطوار الطوبولوجية التي يمكن الوصول إليها بمواد الحالة الصلبة. وقد دفع ذلك للبحث عن أطوار طوبولوجية في أنظمة تحاكي المبادئ ذاتها الكامنة في العوازل الطوبولوجية. واقتُرحت «المشيات الكمومية المتقطعة زمنياً» (DTQW) لبناء عوازل طوبولوجية من نوع فلوكيه (FTI). ويحاكي هذا النظام الدوري المدفوع خارجياً هاملتونياناً فعالاً (من نوع فلوكيه) غير بديهي طوبولوجياً. ويكرر هذا النظام الهاملتونيانات الفعّالة لجميع الأصناف الكونية للعوازل الطوبولوجية من البعد الأول حتى الثالث. ومن المثير للاهتمام أن الخصائص الطوبولوجية لعوازل فلوكيه الطوبولوجية يمكن التحكّم بها عبر محرّك دوري خارجي بدلاً من مجال مغناطيسي خارجي. ويمكن لشبيكة ذرّية مزوَّدة بتفاعل ريدبرغ الانتقائي بالمسافة أن تحاكي أصنافاً مختلفة من عوازل فلوكيه الطوبولوجية على مئات المواقع والخطوات في بُعد واحد أو بُعدين أو ثلاثة أبعاد. ويتيح التفاعل بعيد المدى تصميم شروط حدّية دورية منظّمة طوبولوجياً، مما يثري الأطوار الطوبولوجية القابلة للتحقيق.

الكهرباء الحرارية

الخلفية النظرية

وفي هذا الصدد، تُعد بعض أشهر العوازل الطوبولوجية مواداً كهربائية حرارية ممتازة، مثل تلوريد البزموت (Bi2Te3) وسبائكه مع سيلينيد البزموت (Bi2Se3) (كهرباء حرارية من النوع السالب n-type) وتلوريد الأنتيموان (Sb2Te3) (Antimony telluride) (كهرباء حرارية من النوع الموجب p-type). وتتحقق الكفاءة العالية لتحويل الطاقة الكهروحرارية في المواد التي تجمع بين الموصلية الحرارية المنخفضة، والموصلية الكهربائية العالية، ومعامل سيبك المرتفع (أي التغير التدريجي في الجهد الناتج عن التغير التدريجي في درجة الحرارة). تتكون العوازل الطوبولوجية غالباً من ذرات ثقيلة، مما يساهم في خفض موصليتها الحرارية وهو ما يفيد تطبيقات الكهرباء الحرارية. وقد أظهرت دراسة حديثة أن الخصائص الكهربائية الجيدة (مثل الموصلية الكهربائية العالية ومعامل سيبك المرتفع) يمكن أن تنشأ في العوازل الطوبولوجية نتيجة لانبعاج بنية حزم الباطن (Warping) المدفوع بانعكاس الحزم. وغالباً ما تكون الموصلية الكهربائية ومعامل سيبك خاصيتين متضاربتين في المواد الكهروحرارية ويصعب تحسينهما معاً في آن واحد؛ إلا أن انبعاج الحزم الناتجة عن انعكاس الحزم في العازل الطوبولوجي يمكن أن يوفق بين هاتين الخاصيتين عن طريق تقليل الكتلة الفعالة للإلكترونات/الثقوب وزيادة تعدد الوديان (Valley degeneracy) (أي عدد الحزم الإلكترونية التي تساهم في نقل الشحنة). ونتيجة لذلك، تظل العوازل الطوبولوجية مرشحة ومثيرة للاهتمام في تطبيقات الكهرباء الحرارية.

هاملتونيانات ثنائية النطاق

ومن ناحية أخرى، حيث يُفترض الجمع على الدلائل المكررة (باصطلاح أينشتاين)، و متجه حقيقي ثلاثي الأبعاد، و مصفوفة الوحدة. وتمتاز هذه الصياغة بإمكان اعتبار الهاملتونيان متجهاً في ، وأن المجموعات الجزئية ذات البعد من منطقة بريلوان تصف أسطحاً ذات البعد في . وبهذا المعنى، يمكن اعتبار

من جانب آخر، المقابلة لشبه كمية الحركة ، يمكن تمثيلها بمصفوفة هرميتية في الحالة ثنائية النطاق (وتُسمى غالباً هاملتونيان بلوخ). ويمكن كتابة أي مصفوفة هرميتية كتوليفة خطية من مصفوفات باولي ومصفوفة الوحدة. ومن ثمّ يمكن كتابة أي هاملتونيان دوري ثنائي النطاق على الصورة:

في هذا الإطار، حيث يرمز إلى الخلية الوحدوية، و متجهات الشبيكة، و عدد الخلايا الوحدوية (وقد يكون لا نهائياً)، و الحالة الداخلية للخلية الوحدوية، والتي تُكتب عموماً

وعلى صعيد آخر، تطبيقاً بين فضاءين، حيث يقابل فضاء ، بينما يقابل في حالتنا فضاء المصفوفات الهرميتية . وعلاوة على ذلك، يتيح هذا التمثيل إجراء الجداء القياسي والدورانات للمتجه . وتكتسب هذه الصياغة أهمية خاصة لأن مصفوفة قطرية، مما يعني أن يمكن قطرنته بتدوير حتى يصبح موازياً للمحور . لذا توجد مصفوفة أحادية على الصورة

،

من جهة ثانية، أبسط العوازل الطوبولوجية للوصف هي العوازل البلورية الدورية ذات درجتي حرية (مثلاً مداران) لكل خلية وحدوية. ورغم أن كثيراً مما يلي خاص بهذه الأنظمة، إلا أنه يمكن تعميمه بسهولة على أي عازل طوبولوجي بلوري. ومن الأمثلة المعروفة على أنظمة ثنائية النطاق: الغرافين ونموذج سو-شريفر-هيغر (الذي يصف البولي أسيتيلين). وبفصل درجات الحرية داخل الخلية وخارجها، يمكن كتابة الدالة الموجية على الصورة:

وعلى صعيد آخر، (حيث و درجتا الحرية الداخليتان). وبفضل نظرية بلوخ، فإن هذا الأساس يجعل الهاملتونيان قطرياً على شكل كتل. وإحدى هذه الكتل،

نمو العوازل الطوبولوجية بتقنية MBE

إضافةً إلى ذلك، وتُعدّ MBE تقنية مناسبة لنمو أغشية بلورية مفردة عالية الجودة. ولتجنّب حدوث عدم تطابق كبير في ثابت الشبيكة وعيوب عند السطح البيني، يُتوقّع أن يكون للركيزة والغشاء الرقيق ثوابت شبيكة متقاربة. وتمتلك MBE ميزة على الطرق الأخرى كون عملية التخليق تجرى في تفريغ عالٍ، مما يقلل من التلوث. علاوة على ذلك، يقلّ عيب الشبيكة نتيجة القدرة على التحكم في معدل النمو ونسبة أنواع المواد المصدرية الموجودة عند السطح البيني للركيزة. وعلاوة على ذلك، تتيح MBE نمو العينات طبقة بطبقة، مما ينتج عنه أسطح مسطّحة وسطح بيني ناعم للبنى غير المتجانسة المصمَّمة هندسياً. كما تستفيد تقنية MBE من سهولة نقل عيّنة العازل الطوبولوجي من غرفة النمو إلى غرفة التوصيف مثل ARPES أو دراسات المجهر النفقي الماسح (STM).

علاوةً على ذلك، ونظراً لضعف ترابط فان دير فالس، الذي يخفف من شرط تطابق الشبيكة، يمكن تنمية العازل الطوبولوجي على مجموعة واسعة من الركائز مثل Si(111)، وAl₂O₃، وGaAs(111)، وInP(111)، وCdS(0001)، وY₃Fe₅O₁₂.

من جهة ثانية، النمو بالحزمة الجزيئية (MBE) هو أسلوب من أساليب النمو الفوقي (Epitaxy) لتنمية مادة بلورية على ركيزة بلورية لتشكيل طبقة منظّمة. تُجرى عملية MBE في ظروف تفريغ عالٍ أو فائق العلو، إذ تُسخَّن العناصر في مبخّرات حزمة إلكترونية مختلفة إلى أن تتسامى. ثم تتكاثف العناصر الغازية على الرقاقة حيث تتفاعل مع بعضها البعض لتشكيل بلورات مفردة.

التنبؤ النظري

من جانب آخر، وفي عام 2007، تنبأ عدد من الباحثين بإمكانية وجود عوازل طوبولوجية ثلاثية الأبعاد في مركبات ثنائية تحتوي على البزموت، كما تنبؤوا بوجود ما يُعرف بالعوازل الطوبولوجية القوية، وهي أطوار لا يمكن اختزالها إلى نسخ متعددة من حالة تأثير هول المغزلي الكمومي.

من جانب آخر، أثبت فريق لورنس مولنكامب تجريبياً وجود حالات ديراك عند السطح البيني في تراكيب HgTe/CdTe ضمن عوازل طوبولوجية ثنائية الأبعاد.

وعلى صعيد آخر، اقتُرحت أول نماذج للعوازل الطوبولوجية ثلاثية الأبعاد عام 1985 على يد ب. أ. فولكوف وأ. أ. بانكراتوف، ثم طُوِّرت لاحقاً عام 1987 على يد بانكراتوف وس. ف. باخوموف وفولكوف. وأظهرت هذه الدراسات وجود حالات ديراك ثنائية الأبعاد عديمة الفجوة عند واجهات انقلاب الحزم في التراكيب غير المتجانسة PbTe/SnTe وHgTe/CdTe. وفي عام 2007،

إضافةً إلى ذلك، وعلى الرغم من أن التصنيف الطوبولوجي وأهمية تناظر الانعكاس الزمني لم يتبلورا بصورة كاملة إلا خلال العقد الأول من القرن الحادي والعشرين، فإن الأسس الفيزيائية اللازمة لفهم العوازل الطوبولوجية، بما في ذلك حالات الواجهة الناتجة عن انقلاب الحزم، كانت معروفة منذ أعمال الثمانينيات.

علاوةً على ذلك، وفي عام 2005، اقترح تشارلز كين ويوجين ميلي نموذجاً نظرياً للعازل الطوبولوجي ثنائي الأبعاد، المعروف كذلك بعازل تأثير هول المغزلي الكمومي، ثم اقترح ب. أندريه بيرنفيغ وشوتشنغ تشانغ نموذجاً مماثلاً عام 2006. كما صاغ كين وميلي الثابت الطوبولوجي ℤ₂، وبيّنا أهمية تناظر الانعكاس الزمني في حماية هذا الطور الطوبولوجي. ولاحقاً تنبأ بيرنفيغ وتايلور هيوز وتشانغ بإمكانية تحقيق عازل طوبولوجي ثنائي الأبعاد ذي حالات حافة حلزونية أحادية البعد في آبار كمومية من تيلوريد الزئبق محصورة بين طبقتين من تيلوريد الكادميوم. وقد رُصد النقل الناتج عن حالات الحافة الحلزونية تجريبياً في أعمال فريق مولنكامب عام 2007.

التحقق التجريبي

من جانب آخر، وفي عام 2012، حُدِّدت عوازل كوندو الطوبولوجية في سداسي بوريد السماريوم، وهو عازل حجمي عند درجات الحرارة المنخفضة.

ومن ناحية أخرى، تحقق العلماء عام 2007 من العوازل الطوبولوجية ثنائية الأبعاد لأول مرة في نظام يحتوي على آبار كمومية من HgTe محصورة بين طبقتين من تيلوريد الكادميوم.

كذلك، وقد اقتُرح عامي 2008 و2009 أن أفضل فهم للعوازل الطوبولوجية هو ليس بوصفها موصلات سطحية بحد ذاتها، بل بوصفها موادّ مغناطيسية-كهربائية حجمية ثلاثية الأبعاد ذات تأثير مغناطيسي-كهربائي متكمّم. ويمكن كشف هذا الأثر بوضع العوازل الطوبولوجية في مجال مغناطيسي، ويمكن وصفه بلغة مشابهة للغة جسيم الأكسيون الافتراضي في فيزياء الجسيمات. وقد أفاد باحثون من جامعة جونز هوبكنز وجامعة روتغرز، باستخدام مطيافية الأشعة تحت الحمراء البعيدة، أن دوران فاراداي كان متكمّماً وفق ثابت البنية الدقيقة.

علاوةً على ذلك، وفيما بعد بوقت قصير، لوحظت حالات سطحية محمية بالتناظر في الأنتيمون النقي، وسيلينيد البزموت (Bi2Se3)، وتيلوريد البزموت (Bi2Te3)، وتلوريد الأنتيموان (Sb2Te3) باستخدام تقنية ARPES. ويُعتقد الآن أن الكثير من أشباه الموصلات ضمن عائلة مركّبات هويسلر الواسعة تُظهر حالات سطحية طوبولوجية. وفي بعض هذه المواد، يقع مستوى فيرمي فعلياً في عصابة التوصيل أو عصابة التكافؤ بسبب عيوب طبيعية، ويجب دفعه إلى الفجوة الحجمية عن طريق التطعيم (التخصيب) أو البوابة الكهربائية. وتمثّل الحالة السطحية للعازل الطوبولوجي ثلاثي الأبعاد نوعاً جديداً من الغاز الإلكتروني ثنائي الأبعاد (2DEG) حيث يكون اللف المغزلي للإلكترون مقترناً بزخمه الخطي.

من جهة ثانية، في سنة 2014، تبيّن أن المكوّنات المغناطيسية، كتلك المستعملة في ذاكرة الحاسوب القائمة على عزم الدوران المغزلي، يمكن التحكّم بها عن طريق العوازل الطوبولوجية؛ إذ أظهرت الدراسات أن التيارات الكهربائية المارة في العوازل الطوبولوجية يمكن أن تولّد عزوم دوران مغزلية قوية تؤثر في مغنطة الطبقات المغناطيسية المجاورة، مما فتح آفاقًا لتطبيقات في الإلكترونيات المغزلية وذاكرات الجيل القادم.

من جهة ثانية، وكان أول عازل طوبولوجي ثلاثي الأبعاد يُحقَّق تجريبياً هو Bi_{1-x}Sb_x (أنتيمونيد البزموت). فالبزموت النقي هو شبه فلز ذو فجوة إلكترونية صغيرة، وباستخدام الطيفية الضوئية الانبعاثية زاويّة الانحلال (ARPES) وقياسات أخرى عديدة، لوحظ أن سبيكة Bi_{1-x}Sb_x تُظهر تقاطع حالة سطحية فردية بين أي زوج من نقاط كرامرز، بينما تحمل الحالة الحجمية فرميونات ديراك ضخمة الكتلة. كما تنبأ العلماء كذلك بوجود جسيمات ديراك ثلاثية الأبعاد في البزموت النقي Bi_{1-x}Sb_x الحجمي. ولهذا التنبؤ أهمية خاصة نظراً لملاحظة «تجزّؤ شحنة هول الكمومي» في الغرافين ثنائي الأبعاد وفي البزموت النقي.

علاوةً على ذلك، وقد أُثبت وجود حالات عازل طوبولوجي ثلاثي الأبعاد بالكامل جوهرياً (Intrinsic) في مواد قائمة على البزموت من خلال قياسات النقل السطحي. وفي مركّب كالكوجينيدي جديد قائم على البزموت (Bi_{1.1}Sb_{0.9}Te2S) بتطعيم خفيف من القصدير، لوحظ سلوك شبه موصل جوهري حيث تقع طاقة فيرمي ونقطة ديراك داخل الفجوة الحجمية، وتم استقصاء الحالات السطحية من خلال تجارب نقل الشحنة.

العلاقة بالطوبولوجيا

وعلى صعيد آخر، من أهم الكميات المرتبطة بذلك ارتباط بيري (Berry connection):

كذلك، ولتكن كميةً قابلةً للرصد فيزيائيًا تُستخلص من تكامل طور بيري على منطقة بريلوان (مثل موصلية هول)، فيمكن النظر إليها بوصفها التطبيق المركب :

إضافةً إلى ذلك، إذاً، يجب أن تعتمد هذه الكمية القابلة للرصد على . ولنأخذ و تطبيقين مستمرين من إلى ؛ فإذا أمكن تشويه بسلاسة إلى ، يُقال إنهما متكافئان هوموتوبيًا (Homotopically equivalent). فمثلًا، يمكن اعتبار حلقة على كرة تطبيقًا من إلى (أي عندما يكون ، الدائرة الوحدوية)، وجميع هذه التطبيقات متكافئة هوموتوبيًا لأنه يمكن تشويهها جميعًا بسلاسة إلى تطبيق ثابت (أي إلى نقطة واحدة على الكرة). أما إذا كان (وهي الحالة عندما يقع في مستوى، ومن ثم يتكون هاملتونيان بلوخ من مصفوفتَي باولي فقط)، فلن يكون الأمر كذلك؛ إذ لا يمكن تشويه جميع التطبيقات من الدائرة إلى نفسها إلى تطبيق ثابت. وتُسمى مجموعة التطبيقات المتكافئة هوموتوبيًا صنفًا هوموتوبيًا (Homotopy class). وبالنظر إلى مشعب ، فإن مجموعة الأصناف الهوموتوبية للتطبيقات من إلى ، مع عملية تركيب التطبيقات، تُسمى **زمرة الهوموتوبي رقم ** للمشعب ، وتُرمز لها بالرمز .

وتتمثل إحدى طرق حساب رقم اللف في

وفي السياق ذاته، و حيث تمثلان مؤشري الحزمة. ويعطي تكامله على مسار ما «الطور الهندسي»، الذي يقابل الطور المكتسب من قِبل الحالة أثناء التطور الأدياباتي والذي لا يعود إلى تغيّر الطاقة. وفي المواد ثنائية الأبعاد، يرتبط تكامل اتصال بيري على منطقة بريلوان بحساب موصلية هول في تأثير هول الكمومي، كما يمكن استخدامه كذلك لحساب استقطاب البلورة. ويُلاحظ أن اتصال بيري ليس ثابتًا تحت تحويل المقياس (Gauge)، إلا أن تكامله على مسار مغلق ثابت، لذلك فإن تكامل على مسار مغلق فقط يمكن أن يمثل كمية قابلة للرصد فيزيائيًا. ويعتمد اتصال بيري فقط على اتجاه المتجه ، أي على متجه الوحدة الموافق له ، الذي يمكن اعتباره التطبيق من الطارة ذات البعد إلى الكرة ثنائية الأبعاد :

في هذا الإطار، والزمر الهوموتوبية ذات الصلة بالأنظمة ثنائية النطاق هي و، إذ لا يُنظر إلا في التطبيقات من فضاء العزم (منطقة بريلوان) أو من مجموعات جزئية مغلقة منه إلى الكرة أو الدائرة (بوصفها مجموعة جزئية من ). فمثلًا، فإن ؛ إذ عند تطبيق الدائرة على نفسها يمكن أن يلتف المسار عددًا صحيحًا من المرات حول الدائرة، ولا يمكن تشويه التطبيقات ذات أعداد اللف المختلفة إلى بعضها بعضًا تشويهًا هوموتوبيًا. ومثال آخر هو ، أي إن كل تطبيق مستمر من الكرة ثنائية الأبعاد إلى الدائرة يمكن تشويهه بسلاسة إلى تطبيق ثابت، ومن ثم تنتمي جميع هذه التطبيقات إلى الصنف الهوموتوبي نفسه. ويُسمى العدد الذي يميز عنصرًا في زمرة الهوموتوبي «ثابتًا طوبولوجيًا». ومن أمثلة ذلك رقم اللف، الذي يمثل الثابت الطوبولوجي الموافق لزمرة . وفي هذه الحالة يكون