ستروفويد

الستروفويد القائمة

• في الحالة الخاصة للستروفويد القائمة تكون المعادلة الديكارتية:
• ومعادلتها القطبية:
• ولها المستقيم:
• خطًا مقاربًا.

المعادلات

إضافةً إلى ذلك، وكان O هو مبدأ الإحداثيات، وكانت النقطة الثابتة A ذات الإحداثيات ، فإن المسافة بين A والنقطة K الواقعة على C هي:

في هذا الإطار، وبما أن النقطتين P1 وP2 تقعان على المستقيم OK وعلى بعد d من K، فإن المعادلة القطبية للستروفويد هي:

إذا كان المنحنى C معطى في الإحداثيات القطبية على الصورة:

خصائص إضافية

ومن ناحية أخرى، الستروفويد القائمة متناظرة بالنسبة إلى محور التناظر المناسب، ولها حلقة مغلقة وفرعان يمتدان باتجاه الخط المقارب. كما أنها منحنى غير متغير تحت الانعكاس الدائري بالنسبة إلى دائرة معينة، ولذلك تصنف ضمن المنحنيات اللاأنالجماطيقية (Anallagmatic curves).

أصل التسمية

• انظر كذلك
• منحنى صدفي
• منحنى تكعيبي
• منحنى جبري

ومن جهة أخرى، يرجع اسم Strophoid إلى كلمة يونانية ذات معنى مرتبط بـ«الحزام الملتوي». واقترح الاسم مونتوتشي (Montucci) سنة 1846.

الستروفويد المائلة

وفي السياق ذاته، عندما يكون المنحنى C مستقيمًا، وتقع النقطة A على هذا المستقيم، بينما لا تقع النقطة O عليه، يسمى المنحنى الناتج الستروفويد المائلة (Oblique strophoid).

الستروفويد القائمة

من جهة ثانية، إذا كان المستقيم OA عموديًا على المستقيم C في الحالة السابقة، فإن المنحنى يسمى الستروفويد القائمة (Right strophoid). وتُستعمل كلمة «ستروفويد» أحيانًا للدلالة على هذه الحالة الخاصة. وتعرف كذلك باسم المنحنى اللوغوسيكل (Logocyclic curve) أو المنحنى الورقي (Foliate).

من جانب آخر، تظهر الستروفويد في أعمال إسحاق بارو سنة 1670، مع أن إيفانجليستا توريشيللي وصف المنحنى في رسائله في نحو سنة 1645، كما حصل روبيرفال على المنحنى بوصفه موضعًا هندسيًا لبؤرة مقطع مخروطي ناتج عن دوران المستوى القاطع حول المماس عند رأس المخروط.

البناء الهندسي

ومن ناحية أخرى، لاحقًا تُنشأ دائرة مركزها K ونصف قطرها KA. يقطع المستقيم L هذه الدائرة في نقطتين P1 وP2، بحيث:

كذلك، ليكن C منحنىً معطى، ولتكن O نقطة ثابتة تسمى القطب، ولتكن A نقطة ثابتة.

كذلك، يُرسم مستقيم متغير L يمر بالنقطة O، ويقطع المنحنى C في نقطة متغيرة K.

كذلك، ومع دوران المستقيم L حول النقطة O تتحرك النقطة K على المنحنى C، وتتغير الدائرة تبعًا لذلك، وتتحرك النقطتان P1 وP2.

في هذا الإطار، ومن الخصائص الهندسية المباشرة لهذا الإنشاء أن المستقيمين الواصلين بين A والنقطتين الناتجتين متعامدان:

وعلى صعيد آخر، يكون الموضع الهندسي للنقطتين P1 وP2 هو ستروفويد المنحنى C بالنسبة إلى القطب O والنقطة الثابتة A.

الصياغة التركيبية بواسطة عائلة من الدوائر

وفي هذا السياق، عند تحريك النقطة K على المستقيم p، تتحرك النقطتان P₁ وP₂ باستمرار، ويكون موضعهما الهندسي هو الستروفويد القائمة.

كذلك، ولتكن O نقطة ثابتة. لكل مركز متحرك K، يُرسم المستقيم OK، فيقطع الدائرة ذات المركز K في نقطتين P₁ وP₂. وبما أن المستقيم OK يمر بمركز الدائرة، فإن القطعة P₁P₂ تكون قطرًا لها، ومن ثم:

علاوةً على ذلك، ويُظهر هذا الإنشاء تكافؤًا هندسيًا مع الإنشاء التقليدي للستروفويد، إذ يمكن الانتقال من كل دائرة في العائلة إلى وضع من أوضاع الإنشاء التقليدي، والعكس صحيح. وبذلك يمكن توليد المنحنى دون استخدام معادلات، اعتمادًا فقط على مستقيم ثابت، ونقطة ثابتة، وحزمة من المستقيمات، وعائلة من الدوائر المماسة.

وفي هذا الصدد، يمكن إنشاء الستروفويد القائمة بطريقة تركيبية تعتمد على عائلة من الدوائر المماسة لمستقيم ثابت.

من جهة ثانية، لتكن r مستقيمًا ثابتًا، ولتكن T نقطة ثابتة عليه، ولتكن p العمود على r في النقطة T. تتحرك مراكز الدوائر على المستقيم p، بحيث تكون كل دائرة مماسة للمستقيم r في النقطة T.