رباعية كاملة

المثلث القطري

إضافةً إلى ذلك، ولا تُعد النقاط القطرية رؤوسًا أصلية للرباعية، بل تنشأ من علاقات التقاطع بين اقطارها.

• النقاط القطرية الثلاث تحدد مثلثًا يسمى المثلث القطري للرباعية الكاملة.
• وهكذا يحتوي التكوين على:
• أربعة رؤوس أصلية؛
• ستة أضلاع تصل بين هذه الرؤوس؛
• ثلاث نقاط قطرية ناتجة عن تقاطع الأضلاع المتقابلة؛
• ثلاثة أضلاع للمثلث القطري.

إضافةً إلى ذلك، في المستوى الإسقاطي، تكون هذه العناصر كلها جزءًا من تكوين واحد، ولا يعتمد تعريفها على مفهوم المسافة أو الزاوية.

الأهمية في الهندسة الإسقاطية

من جانب آخر، وقد استعمل كارل فون شتاودت الرباعية الكاملة في تأسيس معالجة تركيبية للتوافق التوافقي، مما ساعد على تطوير الهندسة الإسقاطية بصورة مستقلة عن المفاهيم المترية والهندسة الإقليدية.

من جهة ثانية، تحتل الرباعية الكاملة مكانة أساسية في تطور الهندسة الإسقاطية، لأنها توفر بناءً تركيبيًا مباشرًا للخاصية التوافقية.

• دون الحاجة إلى إدخال مفهوم المسافة أو الزاوية.
• انظر كذلك
• هندسة إسقاطية
• نسبة تصالبية
• رباعي توافقي
• المراجع

التقابل الثنائي

وفي السياق ذاته، كل رأس من رؤوس الرباعية يقع عليه ثلاثة مستقيمات من التكوين، وأن كل مستقيم يحتوي على نقطتين من الرؤوس الأربعة.

الاستقلال عن القياس

في هذا الإطار، ولهذا السبب تحتفظ الرباعية الكاملة ببنيتها عند تطبيق التحويلات الإسقاطية، حتى عندما تتغير الأشكال الظاهرية والزوايا والأطوال.

• لا تحتاج الرباعية الكاملة في تعريفها إلى:
• أطوال؛
• زوايا؛
• دوائر؛
• تعامد؛
• توازٍ.
• فهي تعتمد فقط على:
• النقاط؛
• المستقيمات؛
• التقاطع؛
• الاستقامة.

الإنشاء الهندسي

إضافةً إلى ذلك، وهكذا تتكون من الرباعية الكاملة ثلاثة أزواج من الأضلاع المتقابلة، ويحدد كل زوج نقطة قطرية.

• لتكن أربع نقاط متميزة:
• بحيث لا تقع ثلاث منها على استقامة واحدة.
• نصل كل نقطتين منها بمستقيم، فنحصل على المستقيمات الستة:
• وتشكل هذه المستقيمات التكوين الكامل للرباعية.
• ومن أزواج الأضلاع المتقابلة نحصل على ثلاث نقاط إضافية، تسمى النقاط القطرية:

الخاصية التوافقية

إضافةً إلى ذلك، وبصيغة هندسية، إذا كانت النقاط على مستقيم بحيث تكون مترافقين توافقيًا بالنسبة إلى ، فإنها تحقق العلاقة:

كذلك، وهذه الخاصية هي الأساس التركيبي لبناء المرافق التوافقي لنقطة بالنسبة إلى نقطتين أخريين.

كذلك، لنأخذ مستقيمًا يمر بإحدى النقاط القطرية، وليكن هذا المستقيم حاصلًا من تقاطع أحد أضلاع الرباعية مع مستقيم مناسب يمر بنقاط التكوين. تؤدي علاقات الوقوع في الرباعية الكاملة إلى أربعة عناصر على مستقيم تشكل رباعية توافقية (Harmonic range).

ومن ناحية أخرى، تظهر الأهمية الإسقاطية للرباعية الكاملة بصورة خاصة في التوافق التوافقي (Harmonicity).

ومن جهة أخرى، لكن أهمية الرباعية الكاملة لا تكمن في هذه الصيغة العددية، بل في أن التوافق التوافقي يمكن إنشاؤه بالتقاطعات فقط،، دون الحاجة إلى قياس أطوال أو زوايا.

الرباعية الكاملة في المستوى الإسقاطي

إضافةً إلى ذلك، في المستوى الإقليدي، لا تقع النقاط القطرية الثلاث للرباعية الكاملة على مستقيم واحد. أما في بعض المستويات الإسقاطية المنتهية، مثل مستوى فانو، فقد تصبح النقاط القطرية الثلاث متراصفة.

من جهة ثانية، وقد أدى ظهور مستوى فانو إلى اختلاف في صياغة بعض بديهيات الهندسة الإسقاطية؛ إذ يضيف بعض المؤلفين مسلمة تمنع وقوع النقاط القطرية الثلاث على مستقيم واحد، بينما يتعامل آخرون مع الهندسة الإسقاطية بصورة أكثر عمومية.

الإنشاء التركيبي للمرافق التوافقي

وفي السياق ذاته، تحدد تقاطعات الأضلاع المتقابلة النقاط القطرية، ومن خلال إسقاط هذه العلاقات على المستقيم AB نحصل على النقطة D التي تكون المرافق التوافقي لـC بالنسبة إلى A وB.

إضافةً إلى ذلك، والخاصية الأساسية لهذا الإنشاء هي أن موضع النقاط المساعدة لا يؤثر في النتيجة النهائية؛ فالنتيجة تحددها البنية الإسقاطية نفسها.

وفي هذا السياق، تُرسم نقطة مساعدة P خارج المستقيم AB، ثم تُنشأ مستقيمات مناسبة تصل P بالنقطتين A وB، ويُستكمل التكوين بإنشاء نقطة رابعة ومستقيمات الوصل اللازمة لتكوين رباعية كاملة.

علاوةً على ذلك، يمكن استخدام الرباعية الكاملة لإنشاء المرافق التوافقي لنقطة C بالنسبة إلى نقطتين A وB على مستقيم.

المنظورية والإسقاطية

وفي السياق ذاته، إذا أُنشئت رباعيتان كاملتان في مستويين مختلفين، فإن المنظورية بينهما تحدد علاقة تقابلية بين عناصر التكوينين.

كذلك، وتحافظ التحويلات الإسقاطية على بنية الرباعية الكاملة، ولذلك يمكن نقل التكوين من وضع هندسي إلى آخر دون فقدان علاقات التناسب.

في هذا الإطار، وهذا يجعل الرباعية الكاملة مثالًا أساسيًا على تكوين هندسي تكون خصائصه الجوهرية إسقاطية وليست مترية.

من جانب آخر، وبين أي رباعيتين كاملتين توجد تحويلة إسقاطية وحيدة تنقل رؤوس إحدى الرباعيتين إلى الرؤوس المناظرة في الأخرى.