توزيع ذو ذيل سميك

مقدر نسبة مؤشر الذيل

علاوةً على ذلك، يمكن الاطلاع على مقارنة بين مقدرات نوع هيل ومقدرات نوع RE في نوفاك.

وفي هذا الصدد، تم تقديم مقدر النسبة (مقدر RE) لمؤشر الذيل بواسطة غولدي وسميث. يتم بناؤه بشكل مشابه لمقدر هيل ولكنه يستعمل "معامل ضبط" غير عشوائي.

تقدير كثافة التوزيعات ذات الذيل الثقيل

علاوةً على ذلك، قُدِّمت في ماركوفيتش مناهج غير بارامترية لتقدير دوال كثافة الاحتمال ذات الذيول الثقيلة والثقيلة جدًا. وتشمل هذه المناهج: مناهج تعتمد على عرض نطاق متغير ومُقدِّرات نواة طويلة الذيل؛ ومناهج تعتمد على تحويل البيانات الأولي إلى متغير عشوائي جديد على فترات محدودة أو غير محدودة، وهو ما يُسهِّل عملية التقدير، ثم التحويل العكسي لتقدير الكثافة المُستَحصَل؛ ومنهج "التجميع" الذي يُوفِّر نموذجًا بارامتريًا مُحدَّدًا لذيل الكثافة ونموذجًا غير بارامتري لتقريب نمط الكثافة. وتتطلب المُقدِّرات غير البارامترية اختيارًا مناسبًا لمعاملات الضبط (التنعيم)، مثل عرض نطاق مُقدِّرات النواة وعرض خانة المدرج التكراري. ومن الطرق المعروفة القائمة على البيانات لهذا الاختيار: التحقق المتبادل وتعديلاته، والطرق القائمة على تقليل متوسط مربع الخطأ (MSE) وقيمته التقاربية وحدوده العليا. يمكن إيجاد طريقة التباين التي تستعمل إحصاءات غير معلمية معروفة مثل إحصاءات كولموغوروف-سميرنوف، وفون ميزس، وأندرسون-دارلينغ كمقياس في فضاء دوال التوزيع، وكميات هذه الإحصاءات كمقياس معروف للشك أو قيمة التباين. تُعدّ طريقة بوتستراب أداة أخرى لإيجاد معلمات التنعيم باستخدام تقريبات لمتوسط مربعات الخطأ غير المعروف من خلال مخططات مختلفة لاختيار العينات المعاد أخذها، انظر مثلًا

• انظر كذلك
• توزيع ذو تفرطح عالٍ
• قيمة شاذة
• ذيل طويل
• قانون رفع

مقدر مؤشر ذيل هيل

وفي هذا الصدد، حيث هو إحصائية الترتيب رقم -th لـ يتقارب هذا المُقدِّر احتماليًا إلى ويكون طبيعيًا تقاربيًا بشرط يُقيَّد بناءً على خاصية التباين المنتظم من الرتبة العليا . يمتد الاتساق والتقارب الطبيعي إلى فئة كبيرة من المتتابعات التابعة وغير المتجانسة، بغض النظر عما إذا تُلاحظ هذه البيانات، أو تُحسب كباقي أو بيانات مُفلترة من فئة واسعة من النماذج والمُقدِّرات، بما في ذلك النماذج غير المُحددة بشكل صحيح والنماذج ذات الأخطاء المُترابطة. تجدر الإشارة إلى أن مُقدِّرَي مؤشر الذيل لكل من بيكاند وهيل يستعملان عادةً لوغاريتم إحصاءات الترتيب.

ومن ناحية أخرى، يترك لتكن سلسلة من المتغيرات العشوائية المستقلة والمتطابقة التوزيع ذات دالة التوزيع ، أقصى مجال جذب لتوزيع القيمة القصوى المعمم ، أين مسار العينة هو أين حجم العينة. إذا هي متتالية ترتيب وسيطة، أي ، و ، إذن فإن مقدر مؤشر ذيل هيل هو

أو ما يعادل

كذلك، وهذا له تفسير بديهي لكمية موزعة ذات ذيل طويل يميني، وهو أنه إذا تجاوزت الكمية ذات الذيل الطويل مستوى عالياً معيناً، فإن احتمال تجاوزها لأي مستوى أعلى آخر يقترب من 1.

من جانب آخر، جميع التوزيعات ذات الذيل الطويل هي توزيعات ذات ذيل سميك، ولكن العكس غير صحيح، ومن الممكن إنشاء توزيعات ذات ذيل سميك ليست ذات ذيل طويل.

تعريف التوزيع ذي الذيل الطويل

وعلى صعيد آخر، يُقال إن توزيع المتغير العشوائي X ذي دالة التوزيع F له ذيل أيمن طويل إذا كان لكل t > 0:

مقدر مؤشر ذيل بيكاند

من جهة ثانية، مع سلسلة عشوائية مستقلة ولها نفس دالة الكثافة ، مجال الجذب الأقصى لكثافة القيمة القصوى المعممة ، أين . لو و ، ثم يكون تقدير مؤشر ذيل بيكاندز هو

حيث يتقارب هذا المُقدِّر احتماليًا إلى .

تقدير مؤشر الذيل

وعلى صعيد آخر، هناك مناهج بارامترية وغير بارامترية لمشكلة تقدير مؤشر الذيل.

من جهة ثانية، لتقدير مؤشر الذيل باستخدام النهج البارامتري، يستعمل بعض المؤلفين توزيع القيم المتطرفة المعمم أو توزيع باريتو؛ وقد يطبقون مقدر الاحتمال الأقصى (MLE).

العلاقة بالتوزيعات ذات الذيول السميكة

علاوةً على ذلك، التوزيع ذو الذيل السميك هو توزيع تؤول فيه دالة كثافة الاحتمال، عند قيم x الكبيرة، إلى الصفر كقوة. بما أن هذه القوة تكون دائمًا محدودة من الأسفل بدالة كثافة الاحتمال للتوزيع الأسي، فإن التوزيعات ذات الذيول السميكة تكون دائمًا ذات ذيول سميكة. مع ذلك، فإن بعض التوزيعات لها ذيل يؤول إلى الصفر ببطء أكبر من الدالة الأسية (أي أنها ذات ذيول سميكة)، ولكن أسرع من القوة (أي أنها ليست ذات ذيول سميكة). ومن الأمثلة على ذلك التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي. . ومع ذلك، فإن الكثير من التوزيعات الأخرى ذات الذيل السميك مثل التوزيع اللوجستي اللوغاريتمي وتوزيع باريتو هي كذلك ذات ذيل سميك.

التوزيعات شبه الأسية

في هذا الإطار، توزيع يكون التوزيع شبه أسي على كامل خط الأعداد الحقيقية إذا كان التوزيع هو. هنا هي دالة المؤشر لنصف الخط الموجب. أو بدلاً من ذلك، متغير عشوائي تكون الدالة المدعومة على خط الأعداد الحقيقية شبه أسية إذا وفقط إذا هو شبه أسي.

من جانب آخر، يُعرَّف التوزيع شبه الأسي بدلالة التفافات التوزيعات الاحتمالية . بالنسبة لمتغيرين عشوائيين مستقلين ومتطابقين في التوزيع. مع دالة توزيع مشتركة ، التفاف مع نفسه، مكتوب ويُطلق عليها اسم مربع الالتفاف، ويتم تعريفها باستخدام تكامل ليبيغ-ستيلتيس من خلال:

في هذا الإطار، التفسير الاحتمالي لهذا هو أنه بالنسبة لمجموع متغيرات عشوائية مستقلة مع التوزيع المشترك ،

• والالتفاف ذو n طية يتم تعريفها استقرائياً بالقاعدة التالية:
• دالة توزيع الذيل يُعرَّف بأنه .
• توزيع يكون شبه أسي على نصف الخط الموجب إذا

من جانب آخر، جميع التوزيعات شبه الأسية ذات ذيول طويلة، ولكن يمكن إنشاء أمثلة على التوزيعات ذات الذيول الطويلة التي ليست شبه أسية.

وهذا يعني أنه بالنسبة لأي ،

من جانب آخر، يصف هذا القسم مفهوم التوزيع شبه الأسي في سياق التوزيعات ذات الذيول السميكة. ويوجد تعريف معاكس على وجه التقريب في سياق التوزيعات شبه الغاوسية ذات الذيول الخفيفة.

ومن جهة أخرى، يُعرف هذا غالبًا باسم مبدأ القفزة الكبيرة الواحدة أو مبدأ الكارثة.

تعريف التوزيع ذي الذيل السميك

• هذا يعني
• وهذا مكتوب كذلك بدلالة دالة توزيع الذيل
• مثل

وفي هذا السياق، يُقال إن توزيع المتغير العشوائي X ذي دالة التوزيع F له ذيل سميك (يميني) إذا كانت دالة توليد العزوم لـ X ،M X ( t )، لانهائية لجميع قيم t > 0.

التوزيعات الشائعة ذات الذيل السميك

وتشمل تلك التي لها ذيلان ما يلي:

علاوةً على ذلك، عائلة التوزيعات المستقرة، باستثناء الحالة الخاصة للتوزيع الطبيعي ضمن هذه العائلة. بعض التوزيعات المستقرة أحادية الجانب (أو مدعومة بنصف خط)، انظر مثلًا توزيع ليفي.

توزيع ستيودنت الاحتمالي.

وفي هذا الصدد، توزيع كوشي، وهو في حد ذاته حالة خاصة من كل من التوزيع المستقر وتوزيع ستيودنت؛

• جميع التوزيعات ذات الذيول السميكة الشائعة الاستخدام هي توزيعات شبه أسية.
• وتشمل تلك التي لها ذيل واحد ما يلي:
• توزيع باريتو؛
• التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي؛
• توزيع ليفي؛
• توزيع ويبول بمعامل شكل أكبر من 0 ولكن أقل من 1؛
• توزيع بور؛
• التوزيع اللوجستي اللوغاريتمي؛
• توزيع لوغاريتم جاما؛
• توزيع فريشيه؛
• توزيع q-Gaussian؛

ومن ناحية أخرى، يُوصف توزيع لوغ-كوشي أحيانًا بأنه ذو "ذيل ثقيل للغاية" لأنه يُظهر انحلالًا لوغاريتميًا ينتج عنه ذيل أثقل من توزيع باريتو.