ترميز هيرمان-موغان

الزُّمَر النقطية

علاوةً على ذلك، وإذا كان لمحورين أو أكثر الاتجاهُ نفسه، يُظهَر المحور ذو التناظر الأعلى. والتناظر الأعلى يعني أن المحور يولّد نمطًا بعددٍ أكبر من النقاط. فمثلًا، محاور الدوران 3 و4 و5 و6 و7 و8 تولّد أنماطًا من 3 و4 و5 و6 و7 و8 نقاط على الترتيب. ومحاور الدوران-انقلاب و و و و و تولّد أنماطًا من 6 و4 و10 و6 و14 و8 نقاط على الترتيب. وإذا اجتمع محورُ دورانٍ ومحورُ دوران-انقلاب في الاتجاه نفسه، فبحسب نوعيهما يُختار الرمز؛ فمثلًا نكتب 4 وليس في بعض الحالات، لأن كلًّا من 4 و يولّد أربع نقاط. وفي حالة اجتماع المحاور 2 و3 و6 و و، فإن المحاور و و6 تولّد جميعها أنماطًا من ست نقاط، لكن يُستعمَل الأخير لأنه محور دوران. وأخيرًا، يعتمد رمز هيرمان-موغان على نوع الزمرة.

وفي السياق ذاته، تُظهِر رموز هيرمان-موغان المحاورَ والمستوياتِ غير المتكافئة على نحوٍ متناظر. ويقابل اتجاهُ عنصر التناظر موضعَه في رمز هيرمان-موغان. فإذا كان لمحور دوران n ولمستوى مرآة m الاتجاهُ نفسه، دُوِّنا على هيئة كسر أو n/m.

ومن ناحية أخرى، زُمَر بلا محاور عالية الرتبة (محاور من الرتبة الثالثة فأعلى)

ومن ناحية أخرى، قد تحتوي هذه الزُّمَر على محاور ثنائية ومستويات مرآة و/أو مركز انقلابٍ فقط. وهي الزُّمَر النقطية البلورية 1 و (النظام ثلاثي الميل)، و2 وm و (أحادي الميل)، و222 و وmm2 (المعيني القائم). (والصيغة المختصرة لـ هي mmm.) وإذا احتوى الرمز على ثلاثة مواضع، فإنها تدل على عناصر التناظر في الاتجاهات x وy وz على الترتيب.

من جانب آخر، خلافًا للدورانات غير الأصيلة، تُظهِر رموز هيرمان-موغان محاورَ الدوران-انقلاب، بعكس ترميزَي شونفليس وشوبنيكوف اللذين يُظهِران محاور الدوران-انعكاس. وتُمثَّل محاور الدوران-انقلاب بالرقم الموافق تعلوه شَرطة علوية (ماكرون): n — و و و و و و و... والمحور يكافئ مستوى مرآة ويُرمَز له عادةً بالحرف m. ويُعرَّف اتجاه مستوى المرآة بأنه الاتجاه العمودي عليه (اتجاه المحور ).

الزُّمَر المستوية

وفي هذا الصدد، يمكن تصوير الزُّمَر المستوية بنظام هيرمان-موغان. فالحرف الأول إما p صغير أو c صغير للدلالة على خلايا الوحدة البدائية أو المُمركَزة. والعدد التالي هو التناظر الدوراني كما سبق. ويُرمَز لوجود مستويات المرآة بالحرف m، بينما تُرمَز الانعكاسات الانزلاقية بالحرف g فقط. ولا توجد محاور لولبية في الفضاءات ثنائية الأبعاد.

مستويات الانزلاق

• a أو b أو c: انزلاقٌ بمقدار نصف متجه شبكة هذا الوجه.
• n: انزلاقٌ بمقدار نصف قطر أحد الأوجه.
• d: مستويات انزلاق بمقدار ربع قطر وجهٍ أو قطرٍ فراغي.

وفي هذا السياق، e: انزلاقان بمستوى الانزلاق نفسه وبانتقالٍ على امتداد متجهَي نصف شبكةٍ (مختلفين).

ومن جهة أخرى، يُعطى اتجاه مستوى الانزلاق بموضع الرمز في تسمية هيرمان-موغان، تمامًا كما في مستويات المرآة. ويُرمَز لها بـa أو b أو c بحسب المحور (الاتجاه) الذي يجري الانزلاق على امتداده. وثمة كذلك انزلاق n على امتداد نصف قُطر أحد الأوجه، وانزلاق d على امتداد ربع قطر وجهٍ أو قطرٍ فراغي. وعند وجود انزلاقين محتملين على المحاور نفسها بين a وb وc (مثل a أو b) يُستعمَل الحرف e. وتلخيصًا لذلك:

ترميز التناظر ثنائي اللون

المراجع

وفي هذا السياق، ضمن ترميز هيرمان-موغان، تُميَّز العمليات المنطوية على قلب الزمن بشَرطة (فاصلة عليا). فمستوى المرآة المقترن بقلب الزمن يُرمَز له بـm′، ومحور الدوران n-الطيّ المقترن بقلب الزمن يُعبَّر عنه بـn′ (مثل 2′ و4′ وغيرهما).

أنواع الشبكات

• هذه هي أنواع شبكات برافيه في ثلاثة أبعاد:
• P — بدائية.
• I — ممركَزة الجسم (من الألمانية «Innenzentriert»).
• F — ممركَزة الأوجه (من الألمانية «Flächenzentriert»).
• A — ممركَزة القاعدة على وجهَي A فقط.
• B — ممركَزة القاعدة على وجهَي B فقط.
• C — ممركَزة القاعدة على وجهَي C فقط.
• R — مُعيَّنية (رومبوهيدرية).

زُمَر ذات محور واحد عالي الرتبة

علاوةً على ذلك، الموضع الأول — الاتجاه الأساسي — اتجاه z، المُسنَد إلى المحور العالي الرتبة.

في هذا الإطار، يُلاحَظ أنه في الزُّمَر ذات المحاور الفردية الرتبة n و يغيب الموضع الثالث من الرمز دائمًا، لأن جميع اتجاهات n العمودية على المحور العالي الرتبة متكافئة تناظريًا. فمثلًا، في صورة المثلث تكون مستويات المرآة الثلاثة كلها متكافئة، إذ يمرّ كلٌّ منها برأسٍ ومنتصف الضلع المقابل له. أما بالنسبة إلى المحاور الزوجية الرتبة n و فتوجد n/2 اتجاهات ثانوية وn/2 اتجاهات ثلاثية. فمثلًا، في صورة المسدّس المنتظم يمكن تمييز مجموعتين من مستويات المرآة: ثلاثة مستويات تمرّ برأسين متقابلين، وثلاثة أخرى تمرّ بمنتصفَي ضلعين متقابلين.

وفي السياق ذاته، الموضع الثاني — الاتجاهات الثانوية المتكافئة تناظريًا، وهي عمودية على محور z. ويمكن أن تكون 2 أو m أو .

إضافةً إلى ذلك، وهذه هي الزُّمَر البلورية 3 و32 و3m و و (النظام ثلاثي الزوايا)، و4 و422 و4mm و و2m و و (الرباعي)، و6 و622 و6mm و وm2 و و (السداسي). وعلى نحوٍ مماثل يمكن بناء رموز الزُّمَر غير البلورية (ذات المحاور من الرتب 5 و7 و8 و9...). ويمكن ترتيب هذه الزُّمَر في الجدول الآتي (مع إضافة زمرة الهوية C أو 1، وزمرة الدوران الثنائي C أو 2، وزمرة الانعكاس C أو C أو m):

وعلى صعيد آخر، الموضع الثالث — الاتجاهات الثلاثية المتكافئة تناظريًا، المارّة بين الاتجاهات الثانوية. ويمكن أن تكون 2 أو m أو .

وفي هذا الصدد، قد يكون رمز الزمرة النقطية مربكًا؛ إذ إن رمز شونفليس الموافق هو D، ما يعني أن الزمرة تتألف من محور ثلاثي، وثلاثة محاور ثنائية عمودية عليه، وثلاثة مستويات قطرية رأسية تمرّ بين هذه المحاور الثنائية، فيبدو أن الزمرة يمكن أن تُرمَز 32m أو 3m2. لكن ينبغي التذكّر أنه، خلافًا لترميز شونفليس، يُعرَّف اتجاه المستوى في رمز هيرمان-موغان بأنه الاتجاه العمودي على المستوى؛ وفي زمرة D تكون جميع مستويات المرآة عمودية على المحاور الثنائية، فتُكتب في الموضع نفسه . وثانيًا، تولّد هذه المركّبات مركزَ انقلاب، يولّد باجتماعه مع محور الدوران الثلاثي محورَ دوران-انقلاب .

علاوةً على ذلك، عندما تكون جميع محاور n متكافئة تناظريًا يُكتب موضعٌ واحد فقط لها. أما حين تكون غير متكافئة فتشغل مواضع مختلفة. وتُعدّ زمرتا الفراغ P321 وP312 مثالين على الحالتين على الترتيب.

P – Primitive

• I – Body centered (from the German "Innenzentriert")
• F – Face centered (from the German "Flächenzentriert")
• A – Base centered on A faces only
• B – Base centered on B faces only
• C – Base centered on C faces only

زُمَر ذات عدة محاور عالية الرتبة

وفي السياق ذاته، الموضع الثالث — الاتجاهات القطرية بين أيّ محورين من محاور الإحداثيات الثلاثة. ويمكن أن تكون 2 أو m أو .

كذلك، وإلى جانب الزُّمَر النقطية البلورية الاثنتين والثلاثين، توجد زُمَرٌ نقطية غير بلورية ذات محاور عالية الرتبة (مثل المجموعة العشرونية الوجوه I وI)، وتقوم رموزها على مشابهة رموز الزُّمَر البلورية للنظام المكعّب. ويمكن ترميز الزمرة I بـ235 أو 25 أو 532 أو 53. والرموز المختصرة المحتملة لـI هي m وm وmm وm. والرموز المحتملة للزمرة الحدّية K هي ∞∞ أو 2∞، ولـK هي ∞ أو m أو ∞∞m.

كذلك، الموضع الأول — الاتجاهات المتكافئة تناظريًا لمحاور الإحداثيات x وy وz، وهي متكافئة بفضل وجود المحاور الثلاثية القطرية.

من جهة ثانية، هذه هي الزُّمَر البلورية للنظام المكعّب: 23 و432 و و3m و. وتحتوي جميعها على أربعة محاور ثلاثية قطرية، مرتّبة كمحاور ثلاثية في مكعّب، موجَّهة على امتداد أقطاره الفراغية الأربعة. وتُبنى هذه الرموز كما يلي:

الموضع الثاني — المحاور القطرية 3 أو .

من جانب آخر، وجميع رموز هيرمان-موغان المعروضة أعلاه تُسمّى الرموز الكاملة. ويمكن تبسيطها لكثيرٍ من الزُّمَر بحذف محاور الدوران n-الطيّة من مواضع ، ما دام يمكن استنتاج محور الدوران بلا لبسٍ من مجموعة عناصر التناظر الظاهرة في الرمز. فمثلًا، الرمز المختصر لـ هو mmm، ولـ... إلخ. وفي الزُّمَر ذات المحور الواحد العالي الرتبة لا يمكن حذف ذلك المحور؛ فمثلًا يُبسَّط الرمزان و إلى 4/mmm و6/mmm، لا إلى mmm. وتُعطى الرموز الكاملة والمختصرة لجميع الزُّمَر النقطية البلورية الاثنتين والثلاثين في مقالة الزُّمَر النقطية البلورية.

المحاور اللولبية

وعلى صعيد آخر، يُرمَز للمحور اللولبي بعددٍ n، حيث زاوية الدوران . ثم يُضاف الانتقال على هيئة رقمٍ سفلي يبيّن مقدار الإزاحة على امتداد المحور، كنسبةٍ من متجه الشبكة الموازي. فمثلًا، 2 دورانٌ بمقدار 180° (ثنائي) يتبعه انتقالٌ بمقدار نصف متجه الشبكة. و3 دورانٌ بمقدار 120° (ثلاثي) يتبعه انتقالٌ بمقدار ثلث متجه الشبكة.

كذلك، والمحاور اللولبية الممكنة هي: 2، و3، و3، و4، و4، و4، و6، و6، و6، و6، و6. وثمة أربعة أزواج متقابلة انعكاسيًا (تصاوغ مرآوي) من المحاور: (3 – 3)، و(4 – 4)، و(6 – 6)، و(6 – 6). ويؤدي هذا التصاوغ المرآوي إلى 11 زوجًا من الزُّمَر الفراغية المتقابلة انعكاسيًا، وهي:

الزُّمَر الفراغية

ومن جهة أخرى، يُعرَّف رمز الزمرة الفراغية بدمج الحرف الكبير الذي يصف نوع شبكة برافيه مع الرموز التي تحدد عناصر التناظر. وتُرتَّب عناصر التناظر بالطريقة نفسها المتبعة في رمز الزمرة النقطية الموافقة (الزمرة التي تُنتَج بإزالة جميع المكوّنات الانتقالية من الزمرة الفراغية). ورموز عناصر التناظر أكثر تنوّعًا، لأنه فضلًا عن محاور الدوران ومستويات المرآة، قد تحتوي الزمرة الفراغية على عناصر تناظرٍ أعقد: محاور لولبية (اجتماع دوران وانتقال) ومستويات انزلاق (اجتماع انعكاس مرآة وانتقال). وتُضاف عناصر التناظر الانتقالية ببساطة إلى الزمرة النقطية.

R – Rhombohedral

وفي السياق ذاته، d glide planes with translation along a quarter of a face diagonal or of a space diagonal.

في هذا الإطار، e two glides with the same glide plane and translation along two (different) half-lattice vectors.

ومن جهة أخرى، Decoding the Hermann-Maguin Notation – An introduction into the Hermann-Maguin notation for beginners.

n glide translation along half a face diagonal.

من جانب آخر، a, b, or c glide translation along half the lattice vector of this face.