الهندسة المصرية

الحجوم

في هذا الإطار، تحسب مسألة تَرِد في القسم IV.3 من برديات لاهون الرياضية حجم مخزن حبوب ذي قاعدة دائرية. ويمكن العثور على مسألة وإجراء مماثلين في بردية ريند الرياضية (المسألة 43).

وفي هذا الصدد، تحسب المسألة 14 من بردية موسكو الرياضية حجم هرم ناقص، يُعرف كذلك باسم الجذع.

إضافةً إلى ذلك، وتحسب عدة مسائل في بردية موسكو الرياضية (المسألة 14) وفي بردية ريند الرياضية (الأرقام 44 و45 و46) حجم مخزن حبوب مستطيل.

في هذا الإطار، تحسب عدة مسائل حجم مخازن الحبوب الأسطوانية (41 و42 و43 من RMP)، بينما يبدو أن المسألة 60 من RMP تتعلق بعمود أو مخروط بدلًا من هرم. وهو صغير وشديد الانحدار إلى حد ما، إذ يبلغ السقد (الميل) أربعة أكف لكل ذراع.

المساحة

وبذلك فإن العدد يؤدي دور π = 3.14159....

وفي هذا السياق، أُجريت أعمال المسح والقياس المتنقل باستخدام القضبان والعصي والحبال المعقودة. ويُظهر مشهد في مقبرة منّا في طيبة مسّاحين يقيسون قطعة أرض باستخدام حبل عُقدت فيه عقد على مسافات منتظمة. ويمكن العثور على مشاهد مماثلة في مقابر أمنحتب-سيسي وخع محات ودجر كارع سنب. كما تظهر كرات الحبال في تماثيل مسؤولي المملكة الحديثة، مثل سننموت وأمنمحات-سورر وبنانخور.

في هذا الإطار، وفي مرحلة ما، وُحِّدَت الأطوال باستخدام قضبان الذراع القياسية. وقد عُثر على أمثلة منها في مقابر المسؤولين، وهي تسجل أطوالًا تصل إلى الرَّمَن. واستُخدمت الأذرع الملكية في قياس الأراضي، مثل الطرق والحقول. وقد وصف ليبسيوس أربعة عشر قضيبًا، من بينها قضيب ذو ذراعين، وقارن بينها. ويُعرف مثالان من مقبرة سقارة الخاصة بـمايا، أمين خزانة توت عنخ آمون.

وفي هذا السياق، تحسب المسألة 50 من RMP مساحة حقل دائري قطره 9 خِت. ويُحل ذلك باستخدام التقريب القائل إن الحقل الدائري الذي يبلغ قطره 9 له المساحة نفسها التي لمربع طول ضلعه 8. وتحسب المسألة 52 مساحة شبه منحرف ذي ضلعين مائلين متساويين (على ما يبدو). وتُعطى أطوال الضلعين المتوازيين والمسافة بينهما.

المثلثات:

ومن ناحية أخرى، تحسب المسألة 49 من RMP مساحة قطعة أرض مستطيلة وتحسب المسألة 6 من MMP أطوال أضلاع مساحة مستطيلة عند إعطاء نسبة أطوال الأضلاع. ويبدو أن هذه المسألة مطابقة لإحدى مسائل برديات لاهون الرياضية في لندن. كما تُظهر المسألة أن المصريين كانوا على دراية بالجذور التربيعية. بل كانت لديهم كتابة هيروغليفية خاصة لاستخراج الجذر التربيعي. وهي تشبه زاوية وتظهر في السطر الخامس من المسألة. ويشتبه الباحثون في أنهم كانوا يمتلكون جداول تتضمن الجذور التربيعية لبعض الأعداد المستعملة بكثرة. غير أنه لم يُعثر على مثل هذه الجداول. وتحسب المسألة 18 من MMP مساحة قطعة من قماش الثوب.

وفي هذا الصدد، إن كون هذا الشكل المثمّن، الذي يسهل حساب مساحته، يقرّب مساحة الدائرة بهذه الدقة هو محض حظ لا أكثر. وليس من السهل الحصول على تقريب أفضل لمساحة الدائرة باستخدام تقسيمات أدق للمربع والحجة نفسها.

وعلى صعيد آخر، قسّم كل ضلع إلى ثلاثة أقسام. أزل مثلثات الزوايا. والشكل المثمّن الناتج يقرّب شكل الدائرة. ومساحة الشكل المثمّن هي:

المستطيلات:

تحسب المسألة 10 من MMP مساحة نصف كرة.

إضافةً إلى ذلك، وعُثر على مثال آخر في مقبرة خا في طيبة. ويبلغ طول هذه الأذرع ، وهي مقسمة إلى أكف وأيدٍ: ويُقسَّم كل كف إلى أربعة أصابع من اليسار إلى اليمين، ثم تُقسَّم الأصابع بدورها إلى أجزاء أصغر من اليمين إلى اليسار. كما تُقسَّم المساطر إلى أيدٍ؛ فمثلًا، يُعطى طول القدم الواحدة على أنه ثلاث أيدٍ وخمسة عشر إصبعًا، وكذلك على أنه أربعة أكف وستة عشر إصبعًا.

في هذا الإطار، تقارن المسألة 48 من RMP بين مساحة دائرة (قُرِّبت إلى مثمن) ومربع يحيط بها. وتُستعمل نتيجة هذه المسألة في المسألة 50.

وفي هذا الصدد، عرف المصريون القدماء أن مساحة المثلث هي ، حيث b = القاعدة وh = الارتفاع. وتظهر حسابات مساحة المثلث في كل من RMP وMMP.

وفي هذا السياق، تَرِد المسألة 1 من بردية لاهون في LV.4 على النحو الآتي: مساحة مقدارها 40 «mH» في 3 «mH» تُقسَّم إلى 10 مساحات، لكل منها عرض يساوي 1/2 1/4 من طولها. ويَرِد على الموقع الذي تديره كلية لندن الجامعية ترجمة للمسألة وحلها كما يظهران على القطعة.

ومن ناحية أخرى، وُجدت الشقفة التي تصوّر هذا الرسم بالقرب من الهرم المدرج في سقارة. ويُقسَّم منحنى إلى خمسة أقسام، ويُعطى ارتفاع المنحنى بالأذرع والأكف والأصابع في كل قسم.

لاحقًا نقرّب 63 إلى 64، ونلاحظ أن

الدوائر:

إضافةً إلى ذلك، تشهد الوحدات المصرية للطول منذ عصر الأسرات المبكرة. وعلى الرغم من أن حجر باليرمو يعود إلى الأسرة الخامسة، فإنه سجّل منسوب نهر النيل في عهد فرعون من عصر الأسرات المبكرة هو جر (فرعون)، عندما سُجّل ارتفاع النيل بمقدار 6 أذرع وكف واحدة (نحو ). ويُظهر رسم من الأسرة الثالثة كيفية إنشاء قبو دائري باستخدام قياسات الجسم على امتداد قوس. فإذا كانت مساحة المربع 434 وحدة، فإن مساحة الدائرة 433.7.

كذلك، كان المصريون القدماء يدوّنون مسائلهم في أجزاء متعددة. فكانوا يذكرون عنوان المسألة والبيانات المعطاة لها، وفي بعض النصوص كانوا يوضحون كيفية حل المسألة، ثم يتحققون في الخطوة الأخيرة من صحة الحل. ولم يستعمل الكتبة أي متغيرات، وكانت المسائل تُكتب في صورة نثرية. أما الحلول فكانت تُدوّن في خطوات، تُبيّن مسار العملية.

نصف الكرة:

السقد

المراجع

وعلى صعيد آخر، تشير المسألة 56 من RMP إلى فهم لفكرة التشابه الهندسي. وتناقش هذه المسألة نسبة المسافة الأفقية إلى الارتفاع، المعروفة كذلك باسم سقد (قياس). وكانت مثل هذه الصيغة ضرورية لبناء الأهرامات. وفي المسألة التالية (المسألة 57)، يُحسب ارتفاع هرم من طول قاعدته والسقد (وهو اللفظ المصري للميل)، بينما تعطي المسألة 58 طول القاعدة والارتفاع، وتستعمل هذين القياسين لحساب السقد.

وفي هذا السياق، في المسألة 59، يحسب الجزء الأول السقد، بينما قد يكون الجزء الثاني حسابًا للتحقق من الإجابة: «إذا بنيت هرمًا طول ضلع قاعدته 12 [ذراعًا]، وسقده 5 أكف وإصبعًا واحدًا؛ فما ارتفاعه؟»